1.1. Справочная информация
Геометрия – это наука о свойствах геометрических фигур. Слово «геометрия» греческое, в переводе на русский язык означает «землемерие». Такое название этой науке было дано потому, что в древнее время главной целью геометрии было измерение расстояний и площадей на земной поверхности.
Геометрия часто применяется на практике. Её надо знать и рабочему, и инженеру, и архитектору, и художнику. Одним словом, геометрию надо знать всем.
Планиметрия – это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на плоскости.
Фигура – это произвольное множество точек на плоскости. Точка, прямая, отрезок, луч, треугольник, круг, квадрат и так далее – всё это примеры геометрических фигур.
Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Этим фигурам в геометрии не даётся определений.
Также не определяются такие понятия (отношения), как «лежать между», «принадлежать», «проходить через…» и так далее.
Остальным геометрическим фигурам и другим понятиям даются определения. Определение – это предложение, в котором разъясняется смысл и содержание того или иного понятия. При этом разъяснение состоит в том, что оно сводится к ранее определённым понятиям.
Существует несколько подходов к построению курса планиметрии (и геометрии в целом):аксиоматический, аналитический, векторный, групповой.
Аксиоматическая теория строится следующим образом:
1) даются неопределяемые понятия (в нашем случае это точка и прямая);
2) вводятся неопределяемые отношения (связи между понятиями – «лежать между», «принадлежать» и так далее);
3) даётся система аксиом – то есть утверждений, принимаемых без доказательства;
4) на основе аксиом и законов математической логики доказываются теоремы.
Аксиом, как правило, немного, а вот теорем – бесконечное множество. К аксиомам планиметрии можно отнести следующие:
1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
2. Из трёх точек на данной прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
3. Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин его частей, на которые он разбивается любой его точкой.
4. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
5. Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля. Развёрнутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
6. На любом луче от его начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
7. От любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.
8. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данного луча.
9. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.
На основе приведённых аксиом доказываются различные свойства геометрических фигур (теоремы). Доказать теорему – значит провести логически правильное рассуждение о свойстве той или иной геометрической фигуры.
Любая теорема состоит из двух частей: условия и заключения. Записывают это так: У → З (из условия следует заключение; или: если У, то З). Например: У = «углы α и β – вертикальные», З = «углы α и β равны». Получаем верное утверждение (теорему):У → З (если углы и – вертикальные, то они равны, или, проще: вертикальные углы равны).
