Андрей Павлов - Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс
Название: Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс
Автор:
Жанры: Учебная литература | Математика
Серия: Школьная библиотечка
ISBN: Нет данных
Год: 2005
О чем книга "Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс"

В пособии конспективно изложен школьный курс геометрии. Приведены комплекты экзаменационных билетов, задачи и их решения, распределённые по различным уровням сложности.

Материалы пособия соответствуют учебной программе школьного курса геометрии.

Для учителей и учащихся 9-х классов.

Бесплатно читать онлайн Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс


Предисловие для учащихся

Это пособие призвано помочь вам, во-первых, систематизировать знания по планиметрии, а во-вторых, подготовить вас к итоговым контрольным работам и возможной сдаче экзамена за курс геометрии в 9 классе.

Если вы не сдаёте устный экзамен по планиметрии, а лишь пишете итоговую контрольную работу или сдаете письменный зачёт, можете смело пропустить чтение первой главы этой книги. К её материалам вы сможете обратиться лишь за соответствующими подсказками теоретического характера.

Вторая глава посвящена разбору методов решения планиметрических задач всех основных видов. При этом задачи условно поделены на три уровня сложности. Первый уровень – базовый, второй уровень представлен задачами повышенной сложности. Если же вам наскучили задачи школьного учебника и вы решили готовиться к поступлению в такие вузы как МГУ, МФТИ, МГТУ, МАИ и т. д., решайте задачи третьего уровня сложности. Уровень сложности задания указан в скобках рядом с условием каждой задачи (и каждого вопроса первой главы).

Описание каждого геометрического метода или идеи сопровождается не только решением нескольких типовых задач, но и задачами для самостоятельной работы. Ко всем задачам даны указания и ответы.

Предисловие для учителей

У этой книги две цели. С одной стороны, она представляет собой пособие для учащихся, призванное обобщить знания по курсу планиметрии, подготовить школьника к сдаче экзамена по геометрии в 9 классе. С другой стороны, книга может быть полезной учителям математики, так как содержит не только необходимый материал для подготовки учащихся к экзамену, но и сами комплекты экзаменационных билетов с задачами и ответами к ним.

Особенностью пособия является реализуемый в нем принцип уровневой дифференциации. Все вопросы, задачи и экзаменационные комплекты условно поделены на три уровня: базовый, углублённый и элективный (уровень указан в скобках после каждого задания). Первый уровень соответствует общеобразовательным классам и опирается на действующие стандарты математического образования. Второй уровень, помимо базовых, содержит вопросы и задачи повышенной сложности. Работа на этом уровне целесообразна в гимназических (лицейских) классах в рамках пропедевтики профильного обучения в старших классах. Третий уровень включает материал, который можно использовать как на факультативах, так и в специализированных школах при подготовке учащихся к поступлению в такие вузы, как МГУ, МФТИ, МАИ, МГТУ и другие.

В пособии четыре главы. Первая глава содержит справочную информацию и контрольные вопросы по всему курсу планиметрии. Теоретический материал, выходящий за рамки школьной программы, выделен другим шрифтом. Во второй главе идет разбор планиметрических задач как по объекту решения (треугольник, трапеция, параллелограмм, окружность и т. д.), так и по используемым приёмам и методам, дополняемый задачами для самостоятельной работы. В третьей главе представлены четыре комплекта билетов по геометрии. В четвёртой главе даются ответы, решения и указания к приведённым задачам.


Автор выражает благодарность своим ученикам: Федору Борзову, Игорю Григорьеву, Елене Гудковой, Марии Ларькиной, Наталье Парамзиной, Марии Соловьёвой, Марии Трошиной, Антону Турецкому, Артему Умаханову, Евгению Штыркову, которые оказали большую помощь в создании книги.

Глава 1

Справочная информация теоретического характера

§ 1. Логические основы школьного курса планиметрии

1.1. Справочная информация

Геометрия – это наука о свойствах геометрических фигур. Слово «геометрия» греческое, в переводе на русский язык означает «землемерие». Такое название этой науке было дано потому, что в древнее время главной целью геометрии было измерение расстояний и площадей на земной поверхности.

Геометрия часто применяется на практике. Её надо знать и рабочему, и инженеру, и архитектору, и художнику. Одним словом, геометрию надо знать всем.

Планиметрия – это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на плоскости.

Фигура – это произвольное множество точек на плоскости. Точка, прямая, отрезок, луч, треугольник, круг, квадрат и так далее – всё это примеры геометрических фигур.

Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Этим фигурам в геометрии не даётся определений.

Также не определяются такие понятия (отношения), как «лежать между», «принадлежать», «проходить через…» и так далее.

Остальным геометрическим фигурам и другим понятиям даются определения. Определение – это предложение, в котором разъясняется смысл и содержание того или иного понятия. При этом разъяснение состоит в том, что оно сводится к ранее определённым понятиям.

Существует несколько подходов к построению курса планиметрии (и геометрии в целом):аксиоматический, аналитический, векторный, групповой.

Аксиоматическая теория строится следующим образом:

1) даются неопределяемые понятия (в нашем случае это точка и прямая);

2) вводятся неопределяемые отношения (связи между понятиями – «лежать между», «принадлежать» и так далее);

3) даётся система аксиом – то есть утверждений, принимаемых без доказательства;

4) на основе аксиом и законов математической логики доказываются теоремы.

Аксиом, как правило, немного, а вот теорем – бесконечное множество. К аксиомам планиметрии можно отнести следующие:

1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

2. Из трёх точек на данной прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

3. Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин его частей, на которые он разбивается любой его точкой.

4. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

5. Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля. Развёрнутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

6. На любом луче от его начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.

7. От любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.

8. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данного луча.

9. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

На основе приведённых аксиом доказываются различные свойства геометрических фигур (теоремы). Доказать теорему – значит провести логически правильное рассуждение о свойстве той или иной геометрической фигуры.

Любая теорема состоит из двух частей: условия и заключения. Записывают это так: У → З (из условия следует заключение; или: если У, то З). Например: У = «углы α и β – вертикальные», З = «углы α и β равны». Получаем верное утверждение (теорему):У → З (если углы и – вертикальные, то они равны, или, проще: вертикальные углы равны).


С этой книгой читают
В пособии представлены материалы для проведения интеллектуальных марафонов – разнообразных по форме конкурсов знаний учеников 5-11 классов по всем предметам школьной программы. Завоевавшие популярность благодаря телевидению, такие конкурсы сочетают увлекательность игры и спортивную соревновательность, развивают интерес к знаниям, память и внимание, активизируют общение и творческую энергию участников.Для учителей, педагогов – организаторов внекла
В пособии представлены материалы для проведения математических олимпиад по лигам в 5–9 классах, адаптированных к разным учебникам. Такие олимпиады сочетают увлекательность игры и спортивную соревновательность, развивают интерес к знаниям, память и внимание, активизируют общение и творческую энергию участников.Для учителей математики, педагогов-организаторов внеклассной работы в общеобразовательных школах, гимназиях и лицеях.
Эта памятка для репетиторов. Она поможет в поиске учеников. Выполнив эти простые действия репетитор непременно найдет несколько учеников. Полезные ссылки позволят сэкономить время и деньги.
Как сделать уроки истории действительно живыми и интересными? Какие инструменты и подходы помогут учителю воплотить эту идею в жизнь? В данной книге мы предлагаем рассмотреть целый ряд методик и приемов, которые уже доказали свою эффективность на практике и могут стать незаменимыми помощниками для каждого преподавателя. С их помощью можно не просто улучшить успеваемость, но и создать условия, при которых учащиеся почувствуют глубокую личную связь
Волшебная история про добрую фею Пенелопу, живущую в Зачарованном лесу, и ее друзьях. Для самых маленьких детей и их родителей.
Эта замечательная зимняя сказка о 16-летней Агидель, которая мечтает о карьере в мире моды и дизайна, однако ее отец категорически против, и настаивает на том, чтобы Агидель стала врачом. Однако семья неожиданно получает приглашение на новогодний бал 12-ти королей! Это приглашение становится началом удивительного путешествия, которое полностью меняет жизнь Агидель и помогает ей найти своё истинное призвание и примириться с отцом.
Многим хотелось бы переделать историю своей страны. Может быть, тогда и настоящее было бы более уютным, более благоустроенным. Но лишь нескольким энтузиастам выпадает шанс попробовать трудный хлеб хроноинвэйдоров – диверсантов, забрасываемых в иные эпохи. Один из них попадает в самое пекло гражданской войны и пытается переломить ее ход, обеспечив победу Белому делу. Однако, став бойцом корниловской пехоты, отведав ужаса и правды того времени, он
«– Смертельно раненный лев обрушился на меня и издох. Весь облитый его и своей кровью, обессиленный ранами и борьбой, я задыхался под косматым брюхом мертвого зверя. Только утром товарищи нашли меня и еле живого извлекли из-под трупа льва и привели в чувство. Но все же я благодарен ему: если бы он так хорошо не прикрыл меня, я был бы растерзан гиенами, сбежавшимися к полю битвы. Вот почему я и сказал, что мертвый может спасти жизнь живому, – зако
Очень откровенная эротика.Лена молодая, красивая, воспитанная, скромная девушка. Она очень любит своего мужа и сына Мишку. Они решают поехать семьёй на курорт. Но муж не смог поехать и уговорил лететь Лену с сыном.На курорте всё замечательно. Сын Мишка знакомится с таким же мальчиком Тимуром. Тимур приехал с папой Давидом. Давиду уже давно за пятьдесят. Он большой, грузный мужчина восточной национальности. Он весело играет с ребятами, пока Лена з
Занимательные, увлекательные и, конечно же, выдуманные истории о трёх лучших друзьях – Ньютоне, Гоголе и Вольтере.На страницах этой книги великий учёный сэр Исаак Ньютон – капитан пиратского судна, дуэлянт и изобретатель самогонного аппарата, Николай Васильевич притворяется младшим научным сотрудником, а Вольтер ловко рубит ливерную колбасу казачьей шашкой.Их мир полон необычайных приключений, безудержного кутежа и настоящей мужской дружбы.А вы з