Математика – восхитительная сфера деятельности. Имея только ручку и лист бумаги, можно придумывать все, что угодно. Можно бродить по бумаге с цифрами и символами, заботясь только об одном: равенство должно быть равенством, не более того. Представим, что вы первый великий математик. Люди знакомы только с арифметикой: как складывать, вычитать, умножать и делить. В школе изучают скучные вещи типа таких выражений:
2 +3 = 5 или 7 – 4 = 3
Вы первый, кто подозревает, что есть способ выразить общую идею уравнений, написанных выше.
Сначала вы пишете: a + b = c или c – a = b. Вы можете открыть общие правила, которые могут помочь людям решить любое уравнение. Чтобы проверить открытие, вы должны провести эксперименты с числами.
Напишем простое уравнение: 4 +8 = 12
Прибавим любое число к левой части уравнения.
4 +8 +3 = 12
Что мы получили?
15 = 12
Это неправильно! Как исправить уравнение? Попробуйте добавить к правой части уравнения такое же число, которое вы добавили к левой части уравнения.
4 +8 +3 = 12 +3. Что у вас получилось? 15 = 15
Вы открыли первое правило уравнений. Это правило гласит: «Если вы прибавите одно и то же число к левой и правой части уравнения, это уравнение все равно будет верным». Чтобы выразить это правило в общем виде, вы можете написать:
Если a + b = c, то a + b + n = C + n, где a, b, c, n равны любым числам.
Вы гений? Конечно! Давайте попробуем еще один эксперимент.
Что произойдет, если вычесть любое число из левой части уравнения?
5+2=7
5+2 – 5=7
Что мы получили? 2 = 7
Это неверно, но вы уже знаете, как исправить уравнение. Вы должны вычесть одно и то же число из левой и правой частей уравнения.
5 +2 – 5 = 7 – 5. Тогда 2 = 2.
Можете себя поздравить! Вы открыли второе правило уравнений. Это правило гласит: «Если вы вычтете одинаковые числа из левой и правой частей уравнения, это уравнение все равно будет верным».
Или вы можете написать:
если a + b = c, то a + b – n = c – n, где a, b, c, n равны любым числам.
Какие еще виды экспериментов вы можете провести? Вы можете умножить одну часть уравнения на некоторое число. Напишем уравнение:
5 – 1 = 4
Что будет, если левую часть уравнения умножить на 7?
(5 – 1) 7 = 4, тогда 28 = 4
Это неверно. Попробуйте умножить обе части уравнения на 7.
(5 -1) 7= 4 х 7. Тогда 28 = 28
Вы открыли еще одно правило для уравнений. Третье правило гласит:
«Если вы умножите левую и правую часть уравнения на одно и то же число, это уравнение все равно будет верным».
Если a – b = c, то (a – b) n = (c) n
Еще один эксперимент. Что произойдет, если разделить половину уравнения на любое число?
4 +6 = 10
(4 +6) /2 = 10, тогда 5 = 10.
Вы можете спросить себя: «Сколько раз я буду совершать одну и ту же ошибку?»
Но у вас есть знания, чтобы решить эту проблему.
Вы должны разделить обе части уравнения на одно и то же число.
(4 +6) / 2 = 10/ 2, тогда 5 = 5
Вы открыли четвертое правило уравнений. Это правило гласит:
«Если вы разделите левую и правую часть уравнения на одно и то же число, уравнение все равно будет верным».
Итак, вы можете написать:
Если a + b = c, то (a + b) /n = c/n
Где a, b, c – любые числа, но n не равно 0, потому что нельзя делить числа на 0.
Люди спросят вас: «Какую пользу вы можете извлечь из этих правил?»
Ваш ответ будет таким: «Вы можете использовать эти правила для решения любого уравнения».
Напишем уравнение, в котором одно число неизвестно.
Х – 3 = 11
Как мы можем решить это уравнение? Попробуйте применить первое правило:
Если вы прибавите одно и то же число к левой и правой части уравнения, это уравнение будет верным. Для нашего уравнения удобно добавить 3 к обеим частям уравнения.
Х – 3 +3 = 11 +3
Поскольку -3 +3 = 0
Тогда Х = 11 +3
Итак, Х=14
Давайте попробуем решить уравнение, где все числа представлены буквами.
Примените первое правило, чтобы решить это уравнение
Х – b + b = с + b
Так как -b + b = 0, то
Х = с + b.
Чтобы решить уравнение X + b = c, мы можем применить второе правило.
Если X + b = c, то
Х + b – b = с – b тогда
Х = с – b.
Следующий пример: Х +7 = 15
Вычтите 7 из обеих частей уравнения:
Х +7 – 7 = 15 – 7 и Х = 8
Не читайте дальше, пока не выполните упражнения из практики 1.
