Юрий Черноскутов - Логика. Краткий конспект

Слово «логика» в русском языке, как и в других, многозначно. Оно происходит от греческого logos. В древнегреческо-русском словаре список его возможных переводов занимает полторы страницы энциклопедического формата. Среди них: «речь», «слово», «предложение», «суждение», «понятие», «закон», «правило», «сущность», «мысль» и многое другое. Отсюда и многозначность производного «логика». Люди, никогда не изучавшие логики, считают, что они в состоянии выносить оценки «логично», «нелогично». Под логикой может подразумеваться связность рассуждения («Не вижу логики!»), какая-либо закономерность («Такова логика футбола: не забиваешь ты – забьют тебе»), обоснованность рассуждений и поступков («Какая логика заставляет его делать это?») и многое другое. Вместе с тем есть очень древняя наука, которая именно так и называется. Ее содержание хотя и испытывало модификации на протяжении тысячелетий своего существования, остается, тем не менее, достаточно четко ограниченным. Приведенные выше словоупотребления не изучаются логикой непосредственно (изучивший логику не станет специалистом по логике футбола, логике предвыборных кампаний и т. д., не сможет легко разбираться в основаниях и причинах всего что угодно); тем не менее нельзя сказать, что все эти выражения не имеют никакого отношения к логике. Только это не значит, что все это непосредственно изучается наукой по имени Логика и что изучивший ее овладеет универсальной отмычкой для решения любых проблем.

Логика – наука о формальных законах правильного, корректного, доказательного рассуждения.

Рассуждение представляет собой переход от одних высказываний (суждений, предложений, утверждений), данных заранее, к некоторым новым. Элементарный шаг рассуждения называется умозаключением. Центральный вопрос логики состоит в том, когда такой переход делать можно, а когда нельзя, когда умозаключение является правильным, а когда нет. Центральный ответ состоит в том, что умозаключение является правильным в том случае, если оно удовлетворяет отношению логического следования. Чтобы объяснить, что под этим понимается, требуется ввести некоторые термины, без которых никогда не может обойтись изложение логики.

Исходные высказывания-рассуждения называются посылками. Число посылок ничем не ограничено. Возможны умозаключения из одной, двух, трех и т. д. посылок. Но множество посылок может быть и пустым (например, аксиомы геометрии не выводятся ни из каких других высказываний и могут считаться следствием из пустого множества посылок). Обозначим множество посылок как {X}, где X = x_>1, x_>2…, x_>n; x_>i – некоторая посылка. Новое высказывание, получаемое из исходных в результате рассуждения, называется заключением (или следствием). Обозначим его через А. Тогда тот факт, что некоторое высказывание А является логическим следствием из множества посылок, символически записывается следующим образом:

{X} |= А,

где |= – знак отношения логического следования.

Высказывание А является логическим следствием из множества высказываний {X}, если, и только если истинность элементов {X} гарантирует истинность А.

Иначе говоря, заключение А логически следует из посылок {X}, если исключен случай, когда все посылки, входящие в {X}, истинны, но заключение А ложно.

При определении отношения следования нами использовано понятие истинности высказывания. Здесь мы, оставаясь в рамках логики, приходим к пределу анализа. Раскрытие природы такого важного понятия, как «истина», не входит в задачу логики. Ее интересует переход от одних высказываний к другим, сохраняющий истинность. Подчеркнем: именно корректность перехода, а не истинность того, между чем осуществляются эти переходы. Логика исходит из того, что истина есть некая данность, которую мы в состоянии отличить от лжи, не вникая в природу и происхождение этой данности. Занимаясь этим вопросом, мы выходим за границы логики и вступаем в область теории познания, методологии или пограничную между логикой и ими.

При определении предмета логики было подчеркнуто, что она ограничивается формальными свойствами правильных рассуждений. Попытаемся объяснить, что такое форма рассуждения, на следующих примерах.

Пример 1.1

Санкт-Петербург севернее Москвы.

Москва севернее Киева.

Следовательно, Санкт-Петербург севернее Киева.

Пример 1.2

x >у,

у >z,

следовательно, x > z.

В этих двух несложных рассуждениях речь идет о совершенно разных вещах. Пример 1.1 содержит рассуждение из области географии, пример 1.2 – из области математики. Однако сам ход рассуждения в обоих примерах представляется одинаковым. То, что является общим для этих примеров, – это и есть их логическая форма. Если отвлечься от содержательных терминов, входящих в эти рассуждения (таких как «Санкт-Петербург», «Киев», «севернее», «>» и остальных), и заменить их переменными, то мы сможем получить запись, выражающую только форму обоих рассуждений. Она будет выглядеть так:

а R b,

b R c,

следовательно, а R с.

Здесь буквы а, b и с обозначают объекты, R – отношение между объектами.

Имея дело с такой записью, которая принимает во внимание только форму рассуждения, легче обнаружить, что рассуждение, построенное по такой форме, не всегда будет верным. Например, пусть R обозначает отношение «любить», а = Саша, b = Маша, с = Вова. Нетрудно заметить, что из посылок «Саша любит Машу» и «Маша любит Вову» нельзя вывести заключение аналогично тому, как это делалось в двух предыдущих примерах. Соответственно, такая форма рассуждения не является универсально применимой. Для того чтобы сделать ее таковой, требуется наложить ограничения на отношение R.

В заключение обратим внимание на принципиальное различие понятий правильности и истинности.

Правильность – это свойство рассуждений, доказательств. Истинность – это свойство высказываний. Можно строить правильные рассуждения исходя из ложных посылок. Так, если в примере 1.2 вместо х, у, и z подставить такие числа, что одна из посылок этого примера окажется ложным высказыванием, например 3, 5 и 4 соответственно, то мы получим следующее рассуждение.

Пример 1.3

3 >5,

5 >4,

следовательно, 3 >4,

Оно хотя и выглядит довольно странно, да к тому же предлагает нам в качестве заключения ложное высказывание, тем не менее является примером формально правильного рассуждения, представленного в примере 1.2! Если же мы подставим в том же примере вместо z число 2, то наше рассуждение примет следующий вид.

Пример 1.4

3 >5,

5 >2,

следовательно, 3 >2.

На этот раз, по-прежнему имея одну ложную посылку, мы получаем истинное заключение. Но рассуждали мы в обоих случаях по одной и той же форме, которая правильна! Дело в том, что если мы внимательно прочитаем приведенное выше определение логического следования, то заметим, что оно требует, чтобы из