Владимир Трошин - Натуральные числа. Этюды, вариации, упражнения

Натуральные числа. Этюды, вариации, упражнения
Название: Натуральные числа. Этюды, вариации, упражнения
Автор:
Жанры: Математика | Научно-популярная литература | Развлечения
Серии: Нет данных
ISBN: Нет данных
Год: 2020
О чем книга "Натуральные числа. Этюды, вариации, упражнения"

Тысячи лет человечество использует в практической деятельности и одновременно изучает натуральные числа. В них привлекает внешняя простота, которая при внимательном рассмотрении превращается в необозримую бесконечность. Этим объясняется тот факт, что многие проблемы, связанные с натуральными числами, поставлены очень давно, но не решены до сих пор. Люди постоянно продолжают находить в натуральных числах что-то новое и интересное. Об этом интересном рассказывает книга. Читайте, расширяйте свой кругозор, тренируйте ум, развивайтесь.

Бесплатно читать онлайн Натуральные числа. Этюды, вариации, упражнения


Предисловие

Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Первыми существенными успехами, заложившими фундамент арифметики, стали определение понятия числа, отделение его от конкретных объектов счета и изобретение четырех основных действий с числами: сложения, вычитания, умножения и деления. Развитие математики началось благодаря вавилонянам и египтянам. Источником наших знаний о вавилонской цивилизации служат хорошо сохранившиеся глиняные таблички, покрытые так называемыми клинописными текстами, которые датируются от 2000 года до н.э. и до 300 года н.э. Математика на клинописных табличках в основном была связана с ведением хозяйства. Наше знание древнеегипетской математики основано главным образом на двух папирусах, датируемых примерно 1700 годом до нашей эры. Излагаемые в этих папирусах математические сведения восходят к еще более раннему периоду – около 3500 до нашей эры. Египтяне использовали математику, чтобы вычислять вес тел, площади посевов, объемы зернохранилищ, размеры податей и количество камней, требуемое для возведения тех или иных сооружений. Затем эстафетную палочку подхватили древние греки. С точки зрения современности родоначальниками математики как науки явились греки классического периода (6–4 вв. до н.э.). Математика, существовавшая в более ранний период, была набором эмпирических заключений. Первой книгой, в которой арифметика излагалась независимо от геометрии, было «Введение в арифметику» греческого математика и философа Никомаха Герасского (первая половина II века нашей эры). В истории арифметики ее роль сравнима с ролью «Начал» Евклида в истории геометрии. На протяжении более 1000 лет она служила стандартным учебником, поскольку в ней ясно, четко и всеобъемлюще излагалось учение о целых числах (простых, составных, взаимно простых).

Наша современная система счисления, основанная на позиционном принципе записи чисел и использовании нуля для обозначения пустого разряда, называется индо-арабской. На стене храма, построенного в Индии около 250 года до н.э., обнаружено несколько цифр, напоминающих по своим очертаниям наши современные цифры. Около 800 года н.э. индийская математика достигла Багдада. Термин «алгебра» происходит от начала названия книги Аль-джебр ва-л-мукабала (Восполнение и противопоставление), написанной в 830 году астрономом и математиком аль-Хорезми.

Около 1100 года в западноевропейской математике начался почти трехвековой период освоения сохраненного арабами и византийскими греками наследия Древнего мира и Востока. Поскольку арабы владели почти всеми трудами древних греков, Европа получила обширную математическую литературу. Перевод этих трудов на латынь способствовал подъему математических исследований. Все великие ученые того времени признавали, что черпали вдохновение в трудах греков. Заканчивая этот краткий экскурс в историю, можно сказать, что нашим знаниям о натуральных числах уже 5 тысяч лет! В дальнейшем математика развивалась как вширь – появлялись новые разделы и области математики, так и вглубь, например, постоянно расширялось понятие числа.

Несколько слов хочется сказать о вкладе нашей страны в развитие математики. На первый, поверхностный взгляд может показаться, что все в науке сделано древними египтянами, греками, потом учеными Западной Европы. Действительно, Россия стала цивилизованной страной, когда элементарная математика уже была создана, поэтому в школьных учебниках мы встречаем теорему Пифагора, формулу Герона, доказательство Гаусса, но нет элементарных вещей созданных Ивановым, Петровым и Сидоровым. Для того чтобы добраться до дифференциальных уравнений математической физики, теорем о распределении простых чисел, сложных законов теории вероятностей, неевклидовой геометрии и услышать фамилии Чебышева, Остроградского, Ковалевской, Лобачевского и десятков других наших соотечественников нужно подняться на вершины высшей математики. Естественно, это удается не каждому, поэтому фамилии наших математиков известны специалистам, а не широкому кругу читателей. Наша страна была первой в космосе. За этой таинственной работой тысяч людей тоже скрыты сложные дифференциальные уравнения и математические расчеты, о которых мы не узнаем, да и не сможем понять. Отечественная космонавтика сложнее и гораздо полезнее в практическом плане, чем древнеегипетские пирамиды.

Теперь о содержании раскрытой вами книги. Итак, тысячи лет ученые занимались натуральными числами, казалось все о них известно и больше делать здесь нечего. Но оказывается это неверно. В 1866 году шестнадцатилетний школьник находит среди чисел парочку «самородков», которые пропустили величайшие умы, такие как Ферма, Декарт и Эйлер. Ближе к нам по времени, всего-навсего в прошлом веке, простой школьный учитель из Индии, увлекшись изучением чисел, открывает в них столько нового, что хватило бы на десяток академиков. Это говорит о том, что среди натуральных чисел еще скрываются числа, обладающие некими уникальными свойствами, которые никто еще пока не открыл. Кроме того, велико число сформулированных, но нерешенных проблем, связанных с натуральными числами. Причем характерной чертой таких проблем является то, что понимание их формулировок доступно школьнику, а доказательства не могут найти столетиями. Современная вычислительная техника помогает перебрать и проверить свойства огромного количества натуральных чисел, но компьютеры бессильны перед бесконечностью и не способны доказать всеобщность некоторых утверждений. Вот об этом и будет дальнейшее повествование. Кроме того вы сможете проверить свои способности к теории чисел, решая специально подобранные задачи.

Этюд о единице, породившей бесконечность


Этюд – небольшое исследование, посвященное какому-либо вопросу, изучению узкой темы.


Математика школьная – это учебный предмет, имеющий множество разветвлений. В расписании начальной школы стоит предмет «математика», которая представляет собой арифметику, с вкраплениями геометрических сведений. В средней школе она перерастает в два предмета: алгебру и геометрию, на стыке геометрии и алгебры появляется раздел тригонометрия. Геометрия из планиметрии переходит в стереометрию, а алгебра подступает к началам математического анализа. Попутно бегло просматриваются комбинаторика и теория вероятностей. В каждом из этих разделов изучается некая основа, необходимый минимум и программа идет дальше, чтобы в следующем разделе изучить тоже только самое необходимое. В результате, коснувшись в арифметике теории чисел, дальше необходимости научить детей выполнению четырех математических действий с числами мы не идем. В эпоху компьютеров, когда калькулятор есть в каждом смартфоне, необходимость этих практических навыков энтузиазма не вызывает, тем более не вызывает интереса. Остается простое требование: «надо, Федя, надо!» То, что может увлечь математикой, заинтересовать, не изучается, а остаются простые примеры на выполнение действий с числами. Именно примеры, не требующие ничего кроме механического соблюдения правил, а не задачи, в которых есть вопросы, заставляющие думать. Тем более не остается времени на рассказы из истории математики, показывающие развитие человеческой мысли.


С этой книгой читают
Настольная игра домино входит в десяток самых популярных настольных игр. Информация о задачах, головоломках, играх и соревнованиях со стандартным набором косточек домино разбросана по книгам занимательного направления, а также по журналам и газетам периодической печати. Здесь сделана попытка собрать и систематизировать под одной обложкой разнообразный материал, относящийся к одному объекту – стандартному набору косточек домино. Книга расширяет кр
Данный сборник заданий могут использовать учителя математики как раздаточный материал во внеклассной работе или на элективных курсах по математике. Для этого нужно скачать его в формате PDF, распечатать страницы с заданиями и разрезать их на карточки. Кроме того, он может заинтересовать любителей головоломок и логических задач. Решение заданий поможет скоротать время в дальней дороге или с пользой провести время на отдыхе. Задания по занимательно
Данный сборник предназначен для тех, кто интересуется головоломками, логическими задачами. Решение заданий поможет скоротать время в дальней дороге или с пользой провести время на отдыхе. Учитель может увлечь учащихся решением нестандартных задач, тем более они выполнены как раздаточный материал. В каждом из двух разделов распределение материала идет от простых заданий к более сложным. Задачи в каждом разделе объединены одной темой, но для их реш
Несмотря на огромные перемены в образе жизни, произошедшие в последние годы, из нее не пропали спички. Смартфоны вытесняют фотоаппараты, видеокамеры, калькуляторы и компьютеры, а зажигалки не смогли вытеснить окончательно простые спички. Поэтому сохраняются головоломки, игры, фокусы со спичками. Эта книга – гимн спичкам в прозе. Собрание занимательных, познавательных, развивающих материалов, распределенных как в школе, по отдельным учебным предме
Настоящее учебно-методическое издание предназначено для студентов, обучающихся по направлению подготовки 44.03.05 Педагогическое образование (с двумя профилями подготовки), образовательная программа «Информационные технологии и математика». Учебно-методические рекомендации являются частью учебно-методического комплекса по дисциплине Математический анализ.Пособие поможет и преподавателям в организации практических занятий и самостоятельной работы
В интернете можно найти решения почти всех задач, встречавшихся на ЕГЭ, но, как правило, они излагаются недостаточно детально. В предлагаемом пособии подробно обсуждаются решения задач повышенной сложности: задач с параметром и нестандартных задач из сборников ЕГЭ 2019, 2020. Математика под редакцией И. В. Ященко.Пособие предназначено для абитуриентов, но может быть полезным и для учителей математики.
В данной исследовательской работе исследуется применение формулы QVM (Quantum Virtual Machines) в оптимизации производительности компьютерных систем. Рассматривается роль каждого параметра формулы и их влияние на производительность. Приводятся примеры использования формулы для оптимизации задач, таких как кластерный анализ данных и планирование. Представлены рекомендации по улучшению и дальнейшим исследованиям в этой области.
Формула используется для расчета уникального значения M, которое отражает важные свойства квантовых систем. Эта формула может быть применена для создания алгоритмов оптимизации, машинного обучения и симуляции квантовых систем. Результаты расчета формулы могут использоваться для оценки производительности систем, разработки новых технологий и оптимизации свойств квантовых систем.
У Петечки Осликова есть мама, которая много читает и «делает важные дела», папа, который много работает и… работает, а также бабушка и дедушка – нормальные все люди. Один Петя какой-то неправильный, да что там неправильный – ужасный мальчик! Просто недоразумение какое-то!Ну а Петечка Осликов (если, конечно, когда-нибудь кто-нибудь его об этом спросит) скажет вам совершенно искренне, что с этими взрослыми можно с ума сойти.Елена Соковенина – писат
Появление ребенка в семье – это не только большая радость, но и большая ответственность. Как подготовиться к этому событию? Как спланировать жизненное пространство малыша? Какие игрушки лучше купить? Какие книжки выбрать?И вот ребенок родился! Теперь перед родителями встают новые вопросы. Как сделать его счастливым и развитым? Как научиться относиться с пониманием к его нуждам и запросам? Как заботиться о нем, не проявляя излишней настойчивости и
Им скучно. Многовековое существование успело порядком надоесть, и, чтобы развлечься, они затеяли игру. Вот только…Каково это, играть людскими судьбами? Смогут ли «игрушки» справиться с вмешательством всесильных в их жизнь?Чтобы узнать ответ, необходимо добраться до финала. А пока…Первый ход!Возрастные ограничения 18 +
Как порой сложно отличить хорошее от плохого, особенно когда тебе стукнуло восемьдесят, и ты начинаешь подводить итоги, на первый взгляд, достойно прожитой жизни. Академик Иван Ярославович, человек заслуженный и самодостаточный, понимает, что все его родные несчастливы, и в этом есть доля его вины. И решает исправить то, что можно. Книга первая: Трудная дорога к счастью. Татьяна Герцик Книга вторая: Дорога соблазнов. Татьяна Герцик Книг