Введение
Известны многочисленные свойства ряда натуральных чисел. Одно из них состоит в том, что для любого числа на числовой оси найдется пара чисел, отстоящих слева и справа на одинаковое числовое расстояние от указанного числа. Данное очевидное утверждение исходит из самой природы ряда натуральных чисел, заключающееся в том, что каждое следующее число ряда формируется путем прибавления единицы к текущему числу. Таким образом, уже число 2 имеет пару чисел в составе 1 и 3, отстоящих от числа 2 влево и право ровно на единицу. А далее с увеличением самого числа, оно будет иметь хотя бы одну пару чисел, отстоящих от него на единицу. Указанное свойство и будет исследоваться в настоящей работе с целью использования при рассмотрении сильной гипотезы Гольдбаха-Эйлера [1].
1. Симметричные пары чисел ряда натуральных чисел
Рассмотрим множество целых неотрицательных чисел, таких, которые включают целые положительные числа из ряда натуральных чисел и добавленное в данное множество число ноль, т.е. N>+>0 = N>+U{0} [1].
Исследуем числовую ось натурального ряда N>+>0(рис. 1)
N>+>0 = {0 1 2 3 4 5 6 7 8 …….…a……..n……..b ………………… k–1 …k}
Рис. 1
Выделим для любого числа n, начинающегося с числа 1 пару чисел a и b (см. рис. 1), при чем, пара чисел a и b соответствуют условию, a < b, такое, что выполняется следующее равенство:
n – a = b – n. (1.1)
Назовем указанную пару чисел a и b, отвечающую условию (1.1), симметричной парой любого натурального числа n.
Дальнейшие исследования ряда натуральных чисел N>+>0показывает, что указанная пара чисел a и b под условием равенства (1.1) обладает интересными и важными свойствами, а именно:
1) Числа a и b равноудалены от числа n слева и справа на числовое расстояние δ.
2) Числовое расстояние δ, на которое равноудалены числа a и b от числа n равно:
δ = n – a = b – n. (1.2)
3) Из выражения (1.2) получаем:
a = n – δ; b = n + δ. (1.3)
4) При этом из выражения (1.2) также имеем:
n = a + δ= b – δ. (1.4)
5) Из выражения (1.3) следует, что сумма симметричной пары чисел a и b является четным числом и равна
a + b = 2n. (1.5)
6) Из выражения (1.3) также следует, что разность пары чисел a и b также является четным числом и равна
b – a = 2δ. (1.6)
Назовем эту разность (1.6) размахом симметричной пары.
7) Из выражения (1.6) вытекает
δ =(b – a)/2. (1.7)
8) Можно утверждать, и это очевидно, что количество симметричных пар a и b на числовой оси равно значению n.
Важно исследовать следующий вопрос, в каких пределах изменяется числовое расстояние δ.
Для этого обратимся к числовой оси (рис.1) и построим таблицу 1 множеств симметричных пар при разных значениях n.
Таблица 1
Числоn
Симметричная пара чисел {(a, b)} числаn
Числовое расстояние δ
1
{(0,2)}
1
2
{(1,3),(0,4)}
1,2
3
{(2,4),(1,5),(0,6)}
1,2,3
4
{(3,5),(2,6),(1,7),(0,8)}
1,2,3,4
.
……………….
………
n
{(n–1,n+1), (n–2,n+2),……(1, n+n-1), (0, n+n)}
1,2,3,.…n–1,n
где a и b – симметричные пары для числа n.
Очевидно, и исходя из свойств натуральных чисел, что числовое расстояние δ, равное половине размаха симметричной пары (см. 1.7), изменяется от 1 до n, и по значению не больше самого числа n.
Назовем числовое расстояние δ шагом симметричной пары (шагом симметрии), который меняется
δ = (1,2,3,……… n). (1.8)
Из свойства 6 и выражения (1.6), очевидно, что размах симметричной пары равен удвоенному значению шага симметрии.
Исходя из данного определения и исследованных выше свойств симметричных пар, сформулируем следующую лемму.
Лемма 1: Любое натуральное число n, начиная с числа 1, имеет симметричные пары в количестве, равном самому значению натурального числа.
Доказательство. Из свойств натуральных чисел N>+>0известно, что они являются арифметической прогрессией, такой при которой любое натуральное число можно записать в виде
n>i>+1 = n>i+ 1, (1.9)
Исходя из вышесказанного в (1.9) можно записать
n>i>+>δ = n>i+ δ, (1.10)
где δ число равное 1, 2, 3.….
Тогда можно записать, что и
n>i-δ = n>i– δ. (1.11)
Отсюда имеем
n>i= n>i->δ+ δ. (1.12)
Следовательно, из (1.8) и (1.9) получаем
n>i – n>i>->δ= n>i>+>δ – n>i= δ. (1.13)
Далее если принять n>i+>δ= b, n>i->δ= a, n>i= n, то в новых обозначениях можно записать
n – a = b – n = δ. (1.14)
Таким образом, мы получили выражение (1.2), откуда следует (1.3), т.е.
a = n – δ; b = n + δ.
Ввиду того, что δ = 1, 2, 3.…. n, получаем количество пар a и b равное n. Так как указанные пары удовлетворяют свойствам 1) – 8), следует, что они симметричны, а это и доказывает лемму.
В результате, выше определено понятие симметричных пар и их шаг симметрии, которые представляют особый интерес исследования настоящей работы.
2. Исследование множеств симметричных пар
Рассмотрим множество C симметричных пар числа n, такое что,
C = {a>n,…a>i,…a>3,a>2, a>1, b>1, b>2, b>3,… b>i…b>n }, (2.1)
где a>i, b>i. – симметричные пары, удовлетворяющие свойствам 1) – 8).
Для примера рассмотрим число 10. Тогда множество C симметричных пар числа 10 будет C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
Представим множество симметричных пар C в виде двух других множеств A и B, которые состоят из множества
A = {a>1, a>2, a>3,…a>n } и множества B = {b>1, b>2, b>3,…b>n }. (2.2)
Очевидно C = AUB.
Для нашего примера эти множества будут
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и B = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}.
Парные элементы приведенных множеств также удовлетворяют свойствам 1) – 8). Очевидно, что мощности обоих множеств |A| и |B| одинаковы и равны n.
Следует заметить, что эти множества взаимосвязаны, при чем, элементы в указанных множествах имеют взаимно однозначное соответствие одного множества к другому, и они в совокупности составляют симметричные пары (a>i, b>i).
Действительно, имеем a>1= n–1, a>2 = n – 2, a>3 = n – 3, …a>i = n – i, …….. a>n>-3 = 3, a>n>-2 = 2, a>n>-1 = 1, a>n = 0, и b>1 = n + 1, b>2 = n + 2, b>3 = n + 3, …….. b>i = n + i,……. b>n>-1 = n + n – 1, b>n = n + n, то есть, такое взаимное соответствие можно выразить следующей зависимостью
a>i = n – i,b>i = n + i, (2.3)
где i = 1,2,3, …….n.
Следовательно, для симметричных пар выражение (1.5) поэлементного соответствия будет выглядеть
a>i + b>i = 2n и b>i – a>i= 2i, (2.4)
где i = 1,2,3, …….n.
Отсюда видим, что шаг симметрии равен номеру симметричной пары, т.е. δ=i.
Анализируя выражения (2.3) и (2.4), можно видеть, что множества A и B в свою очередь состоят из подмножеств нечетных и четных чисел, т.е. можно записать
A = nch>A U ch>A;
B = nch>B U ch>B, (2.5)
где nch>A и ch>A – подмножества нечетных и четных чисел множества A;
nch>B и ch>B – подмножества нечетных и четных чисел множества B.
Для указанного выше примера, имеем
nch>A= {1, 3, 5, 7, 9} и ch>A= {0, 2, 4, 6, 8}.
nch>B= {11, 13, 15, 17, 19} и ch>B= {12, 14, 16, 18, 20}.
Очевидно, и это не требует доказательств, что мощности подмножеств
