Дмитрий Кудрец - Системы счисления

Системы счисления
Название: Системы счисления
Автор:
Жанры: Учебная литература | Математика
Серии: Нет данных
ISBN: Нет данных
Год: Не установлен
О чем книга "Системы счисления"

В книге рассказывается о позиционных и не позиционных системах счисления, приводятся примеры вычислений в разных системах и задания для самостоятельной работы.Книга адресуется учащимся школ, гимназий, лицеев, а также широкому кругу читателей.

Бесплатно читать онлайн Системы счисления


© Дмитрий Кудрец, 2019


ISBN 978-5-4496-4055-0

Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero

Введение

С давних времен человечество сталкивалось с проблемой подсчёта и записи количества собранного урожая, накопленных богатств, и т. д. Каждые народы решали эту проблему по-разному – одни использовали узелки на верёвках, другие – зарубки на палочках, камешки или ракушки.

С возникновением письменности одновременно возникали и развивались новые системы счёта и правила выполнения операций над числами.

Известно множество способов представления чисел. В одних случаях для обозначения чисел использовались буквы алфавита, в других – применялись специальные символы. Такие символы называются цифрами.

Система обозначения, записи и правила операций над числами называется системой счисления или системой счёта.

За историю человечества существовало множество различных систем счисления. Некоторые из них до сих пор используются, другие системы не получили широкого распространения.

В зависимости от способа изображения чисел с помощью цифр системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

Наиболее распространёнными непозиционными системами счисления являются римские числа, греческие числа, старославянская система счета, египетские и вавилонские числа. В таких системах значение числа не зависит от положения цифры в записи.

Самой распространенной позиционной системой счисления является десятичная система (арабские или десятичные числа). Этой системой мы пользуемся в повседневной жизни. В этой системе значение числа зависит от положения цифры в записи. Например, в записи числа 152 в десятичной системе цифра 5 – обозначает число десятков. Если переставить цифры местами, то изменится и числовое значение. Так в записи 125 – цифра пять будет обозначать число единиц.

Существовали также и мультипликативные системы счисления, которые несут в себе признаки как непозиционных, так и позиционных систем. Примером таких систем являются китайские числа.

Непозиционные системы счисления

В самой простейшей системе счисления для записи чисел используется только одна цифра. Такая система записи чисел называется единичной (унарной), так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака (единицы), которую можно изобразить в виде палочки, кружочка или любой другой фигуры.

Числа в этой системе будут записываться примерно так:



Такая система счисления в основном использовалась народами, не имеющими письменности. Иногда подобной системой счисления пользуются и современные люди, например, отмечая зарубками количество прошедших дней, или карандашом отмечая черточками или точками в тетради количество проданных товаров.



Единичная система – не самый удобный способ записи чисел. Запись больших чисел получается очень длинной и неудобной. С течением времени возникли другие, более удобные, системы счисления.

В непозиционной системе счисления абсолютно неважно, где стоит цифра – на первом или последнем месте. Для определения значения числа нужно сложить (или отнять) все числовые значения. Арифметические действия в непозиционных системах счисления очень неудобны и сложны.

Для обозначения чисел многие народы использовали существующие алфавиты. Такие системы счисления называются алфавитными. Алфавитные системы счисления использовались в Древней Греции, Руси, Риме.

Древние египтяне, Ацтеки и племена Майя для записи чисел использовали специальные символы (цифры). Разные цифры обозначались различными символами. Такие системы называются аддитивными.

Несмотря на то, что непозиционные системы счисления использовались человечеством на протяжении длительного периода, они были далеки от совершенства и имели ряд существенных недостатков: с их помощью нельзя было представлять дробные и отрицательные числа; возникали проблемы при записи очень больших чисел и самый главный недостаток – сложность выполнения арифметических операций.

Римские числа

Достоверных сведений о происхождении римских цифр нет. Скорее всего, эти цифры были заимствованы римлянами у этрусков или других народов.



Числа в римской системе счисления обозначают буквами латинского алфавита I, V, X, L, C, D и M.



Такие обозначения частично произошли от рисунков, изображавших некогда соответствующие числительные (I – палец, V – пятерня с расставленными пальцами, X – две пятерни), а частично являются сокращениями латинских слов (centum – сто, demimille – пятьсот, mille – тысяча).



В римской записи буква I всегда означает единицу, буква V -пять, буква X —десять, L – 50, С – 100, D – 500, M – 1000.

В числе XXX, записанном в римской системе счисления, цифра X в любом месте означает десять.

В римской системе существовали и свои правила записи чисел: меньшие по разряду цифры идут после больших. Все числовые значения складываются.

Например, CCXXXVII = 100+100+10+10+10+5+1+1 = 237

Если цифра с меньшим значением записывалась перед цифрой с большим значением, то происходило ее вычитание.

Исключения составляют числа 9 (IX), 90 (XL), 900 (CM) – в этих числах стоящая слева цифра отнимается от следующей за ней цифры.

Например, число 3277 в римской системе записывается так:

МММССLXXVII=1000+1000+1000+100+100+50+10+10+5+2

Также существовало правило, по которому нельзя записывать подряд 4 одинаковых цифры. Такая комбинация заменяется комбинацией цифр с вычитанием от большей меньшей, причем меньшая цифра пишется слева.

Например:

XXXX=XC (50 – 10);

IIII=IV (5 – 1);

CCCC=CD (500 100).

Такая система записи чисел существовала в Италии до XIII века, а в некоторых странах Западной Европы – до XVI века.

Римская система счисления в настоящее время используется в основном, для наименования знаменательных дат, времени, разделов и глав в книгах.


Задания для самостоятельной работы

Задание 1. Запишите римской записью десятичные числа…



Задание 2. Запишите римской записью десятичные числа…



Задание 3. Переведите римские числа в десятичные…



Задание 4. Переведите римские числа в десятичные…



Задание 5. Выполните сложение чисел…


Греческие числа

В Древней Греции имели хождение две основных системы счисления – аттическая (или геродианова) и ионическая (она же александрийская или алфавитная).

Аттическая система счисления использовалась греками уже к V в. до н. э. По существу это была десятичная система (хотя в ней также было выделено и число пять), а аттические обозначения чисел использовали повторы коллективных символов. В этой нумерации числа 1, 2, 3, 4 изображались соответствующим количеством вертикальных полосок:



Число 5 записывалось знаком Г (древнее начертание буквы Пи, с которой начиналось слово пять – пенте.

Числа 6, 7, 8, 9 обозначались сочетаниями этих знаков:


С этой книгой читают
Пособие «Практикум по HTML» содержит разноуровневые задания для организации самостоятельной работы при изучении соответствующей темы на уроках информатики.Адресуется учителям и учащимся школ, гимназий, учреждений профессионального образования.
В книге рассказывается об основных видах диаграмм, приводятся примеры определения величин по диаграммам, задачи для самостоятельного решения.Рекомендуется для учащихся и учителей школ, лицеев, гимназий.
В данном пособии рассматриваются различные способы построения графиков функций. Приводятся примеры построения графиков различными методами, задания для самостоятельной работы.Пособие рекомендовано для учащихся старших классов и учителей школ, гимназий, лицеев для организации работы, как на уроке, так и на факультативах и дополнительных занятиях по данной теме, а также для подготовки к экзаменам.
Числовой ребус – это логическая задача, в которой необходимо расшифровать значение символов и восстановить числовую запись.Книга рекомендована для учащихся и учителей школ, гимназий для организации внеклассной работы по математике.
«Заметки о сложностях английского языка» – книга учителя английского языка об английских словах и правилах, в которых многие делают ошибки. Рекомендуемый уровень знания английского языка – от Elementary до Intermediate.
Повесть описывает первый в истории визит людей на обитаемую планету.Цели некоторых визитёров исключительно научные, в то время как у других есть цели покрытые тайной. А ещё среди них есть популярный экоактивист, который присутствует там как «спецпосланник ООН» для защиты природы от остальных путешественников. Вот только это дремучий сектант, который попал в состав миссии из-за интриг политиков. Противостояние между ним и некоторыми другими членам
В этом пособии для учителей вы найдете собрание разных тем на английском языке. В каждой теме по 10 вопросов. Такие топики отлично подойдут для практики разговорной речи с вашим взрослым учеником. Этот сборник предназначен для начинающих и продолжающих учащихся.
Книга для детей и взрослых про путешествия Дракоши Флейма. Вдохновение, поддержка, исполнение желаний.Сделано с добротой и заботой!
Ираклий Квирикадзе, культовая фигура российского кинематографа, автор сценариев к фильмам “Кувшин”, “Пловец”, “Лунный папа”, “1001 рецепт влюбленного кулинара”, “Лето, или 27 потерянных поцелуев”, преподаватель Высших курсов сценаристов и режиссеров, постоянный автор журнала “Story”. В последние годы живет в Москве, работает в США, Франции, Германии, Грузии и России.В книге “Мальчик, идущий за дикой уткой” в поэтичной и одновременно эксцентричной
Книга представляет собой сборник материалов, посвященных ведущейся сегодня на Украине «войне» за историю. Фальсификация прошлого там приобрела масштабы стихийного бедствия. Главная цель «бойцов фальсификаторского фронта» – противопоставить украинцев (малорусов) и великорусов, стравить их между собой, навсегда разделить Россию и Украину в людском сознании. Ряды фальсификаторов разношерстны: от вроде бы солидных ученых со степенями и званиями до от
Альтернативный мир в котором живет и процветает магический СССР. Вернее процветал… После повторения эксперимента вавилонских учёных открывается портал на ядерном объекте Вязь-4. Механизм разрушения запущен.Хотя об этом ещё мало кто знает…
События XX в. наводят на мысль, что в основании исторического существования-развития конструкций таких объектов, как философия, капитализм, искусство, поэзия, лежит вращательно-возвращательное движение лентомёбиусного типа. Поскольку речь идет о топологических объектах жизненного мира людей, то свойственное капитализму, философии, искусству, поэзии как формам жизни людей вращательно-возвращательное движение осуществляется на основе пульсации ваку