Станислав Баранов - Таблица квадратов чисел до 100 за неделю. Как выучить квадраты чисел без зубрежки за неделю

Данная формула применима для вычисления квадратов, как частного случая умножения чисел от 11 до 19, когда оба числа одинаковые.

Детям младших классов (3—5 класс) формулу объясняю как методику.

Обозначим цифры единиц чисел из интервала [11, 19] как Х и У. Тот факт, что число десятков равно 1, учтём в формуле как 1 в нужном разряде. Нижним подчёркиванием (вместо математического верхнего) покажем, что умножаются числа 1Х и 1У. Тогда вся формула будет иметь вид:

1Х*1У= (1Х+У) *10+Х*У= (1У+Х) *10+Х*У

Формула умножения, чисел из отрезка [11, 19]

Словами можно объяснить так:

Приумножении чисел из промежутка [11, 19] нужно поступить таким образом. К первому числу надо добавить единицы второго числа (можно наоборот ко второму числу прибавить единицы первого числа). Полученный результат умножить на 10 (приписать справа 0) и прибавить произведение единиц первого и второго числа.

Так как данная книга о квадратах чисел, то применим данную формулу к частным случаям (когда Х=У):

11^>2=11*11= (11+1) *10+1*1=120+1=121;

12^>2=140+2^>2=144;

13^>2=160+3^>2=169;

14^>2=180+4^>2=196;

15^>2=200+5^>2=225;

16^>2=220+6^>2=256;

17^>2=240+7^>2=289;

18^>2=260+64=324;

19^>2=280+81=361;

Необходимо добиться навыка подсчета таких чисел, как в последних двух примерах (18 и 19), когда многие промежуточные выкладки сведены к сумме двух слагаемых. Вполне можно добиться навыка простого запоминания этих квадратов. Подробнее о технике запоминания будет изложено в другом разделе книги, касающегося мнемотехники.

Доказательство.

Доказать справедливость формулы подсчёта таких чисел можно алгебраическими методами.

Перепишем числа 1Х и 1У как 10+Х и 10+У, где Х и У это единицы первого и второго числа.

Тогда (10+Х) * (10+У) =100+10Х+10У+Х*У= (10+Х+У) *10+Х*У.

Выражение в скобках (10+Х+У) это сумма первого числа 10+Х с единицами У второго числа или сумма второго числа 10+У с единицами Х первого числа. Далее полученный результат умножается на 10 и суммируется с произведением единиц первого и второго чисел. Данное правило и было описано словесно в этой главе.

Эта формула распространяется и на другие случаи умножения двузначных чисел с одинаковым числом десятков и когда сумма единиц равна 10. Один из частных случаев этой формулы применяется для вычисления квадратных корней для чисел, оканчивающихся на 5.

В этой главе приведу частный случай этой формулы. О самой формуле напишу более подробно в другой моей книге.

Формула вычисления квадратов, для чисел, оканчивающихся на 5:

Х5^>2=Х* (Х+1) *100+5^>2=Х* (Х+1) 25

Квадраты чисел, оканчивающихся на 5

По сути, если число заканчивается на 5, то нужно число десятков увеличить на 1 и перемножить эти числа, в конце полученного результата дописать 25.

Примеры

1) 15^>2=1* (1+1) *100+5^>2=200+25=225;

2) 25^>2=2* (2+1) *100+5^>2=600+25=625;

3) 75^>2=7*8*100+5^>2=5600+25=5625;

4) 95^>2=9000+25;

5) 115^>2=11*12*100+25=13225

На практике никакого умножения на 100 не производится. На самом деле сначала пишут результат умножения числа десятков на следующее за ним число и к нему приписывается 25:

85^>2=7225.

Доказательство.

Представим число оканчивающееся на 5 как 10*Х+5, где Х-любое число из натурального ряда (5 пример показывает, что число может быть любым, а не только однозначным).

Тогда

Х5^>2= (10Х+5) * (10Х+5) =100Х^>2+50Х+50Х+5*5=100Х^>2+100Х+25=100Х* (Х+1) +25=Х* (Х+1) *100+25=Х* (Х+1) 25

Многие вычислители (ментальные счётчики, фокусники-математики) используют следующую формулу для вычисления чисел из отрезка [25;50].

ХУ^>2= (ХУ-25) *100+ (50-ХУ)^> 2

Формула для вычислений квадратов чисел от 25 до 50 включительно

Для использования формулы потребуется хорошее знание квадратов чисел до 25.

Вторая формула применяемая вычислителями, используется для чисел от 50 до 100 включительно:

ХУ^>2= (ХУ-50) *200+ (100-ХУ)^> 2

Формула для вычисления квадратов чисел от 50 до 100 включительно

Использование формулы потребует знания квадратов чисел до 50.

Например, для подсчёта квадрата 67, необходимо знание квадрата числа 33=100—67.

Для вычисления квадратов чисел используют всего две формулы из всех формул сокращенного умножения:

(a+b)^{> 2}=a^>2+2*a*b+b^>2;

(a‒b)^{> 2}=a^>2—2*a*b+b^>2.

Формулы сокращённого умножения

Формулы сокращенного умножения в школьном курсе используются для подсчета квадратов для чисел близких к круглым.

Например, необходимо подсчитать квадрат числа 41. Тогда по формуле сокращенного умножения легко преобразовать:

41^>2= (40+1)^{> 2}=40^>2+2*40*1+1^>2=1600+80+1=1681

39^>2= (40—1)^{> 2}=40^>2—2*40*1+1^>2=1600—80+1=1521

Квадрат числа, которое на единицу отстаёт (возрастает) от легковычисляемого квадрата приведены выше. Вычислим квадраты чисел, которые отстают (возрастают) на 2 единицы.

42^>2= (40+2)^> 2=40^>2+2*40*2+1^>2=1600+160+2^>2=1764

38^>2= (40—2)^> 2=40^>2—2*40*2+2^>2=1600—160+4=1444

Далее, если число отстаёт (возрастает) на 3 единицы сложность вычислений немного увеличивается: