Александр Митькин - Теоретическая механика в приложении к астрономии

Курс теоретической

механики

(фрагмент теории взят из одноимённой книги. Авторы: Н.В. Бутенин, Я.Л. Лунц, Д.Р. Меркин)

В тексте вектор и модуль вектора могут иметь одинаковые обозначения. Что именно имеет-ся в виду в том или ином случае, определяется по смыслу.

Параграфы §§1.3, 1.5, 1.9, 1.11, 1.13, 1.15, 1.21 содержат примеры решений задач.

§ 1.1. Аксиомы статики и их следствия

В аксиомах статики формулируются те простейшие и общие законы, которым подчиняются силы, действующие на одно и то же тело, или силы, приложенные к взаимодействующим телам. Эти законы установлены многочисленными непосредственными наблюдениями, а также опытной проверкой следствий (часто далёких и вовсе не очевидных), логически вытекающих из этих аксиом.

Как следует из второго закона Ньютона, тело под действием одной силы приобретает ускорение и, следовательно, оно не может находиться в покое. Это означает, что одна сила не может составлять уравновешенную систему сил. Первая аксиома устанавливает условия, при выполнении которых простейшая система сил будет уравновешена.

Аксиома 1. Две силы, приложенные к абсолютно твёрдому телу, будут уравновешены (эквивалентны нулю) тогда и только тогда, когда они равны по модулю, действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны.

Это означает, что если абсолютно твёрдое тело находится в покое под действием двух сил, то эти силы равны по модулю, действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны. Обратно, если на абсолютно твёрдое тело действуют по одной прямой в противоположные стороны две равные и противоположные по модулю силы, и тело в начальный момент находилось в покое, то состояние покоя тела сохранится.

На рис.1.1 показаны уравновешенные силы F_>1, F_>2 и P_>1, P_>2, удовлетворяющие соотношениям: (F_>1, F_>2)~0, (P_>1, P_>2)~0.

При решении некоторых задач статики приходится рассматривать силы, приложенных к концам жёстких стержней, весом которых можно пренебречь, причём известно, что стержни находятся в равновесии. Из сформулированной

аксиомы непосредственно следует, что действующие на такой стержень силы направлены вдоль прямой, проходящей через концы стержня, противоположны по направлению и равны друг другу по модулю (рис. 1.2, а). Этот вывод сохраняется и в случае, когда ось стержня криволинейна (рис. 1.2, б).

Первая аксиома устанавливает необходимые и достаточные условия уравновешивания только двух сил, но, конечно, уравновешенная система сил может состоять и из большего числа сил.

Две следующие аксиомы устанавливают простейшие действия с силами, при которых состояние тела не изменяется.

Аксиома 3. Не меняя состояния тела, две силы, приложенные к одной точке, можно заменить одной равнодействующей силой, приложенной в той же точке и равной их геометрической сумме (аксиома параллелограмма сил).

Эта аксиома устанавливает два обстоятельства: первое – две силы F_>1 и F_>2 (рис. 1.4), приложенные к одной точке, имеют равнодействующую, т.е. эквивалентны одной силе

второе – аксиома полностью определяет модуль, точку приложения и направление равнодействующей силы

Другими словами, равнодействующую R можно построить как диагональ параллелограмма со сторонами, совпадающими с F_>1 и F_>2.

Модуль равнодействующей определится равенством

где α – угол между данными векторами F_>1 и F_>2.

Отметим, что третья аксиома применима к любым, не обязательно абсолютно твёрдым телам.

Вторая и третья аксиомы статики дают возможность переходить от одной системы сил к другой системе, ей эквивалентной. В частности, они позволяют разложить любую силу R на две, три и т.д. составляющие, т.е. перейти к другой системе сил, для которой сила R является равнодействующей. Задавая, например, два направления, которые лежат с R в одной плоскости, можно построить параллелограмм, у которого диагональ изображает силу R. Тогда силы, направленные по сторонам параллелограмма, составляют систему, для которой сила