Николай Морозов - Теория пределов и нейросети. Практикум

Теория пределов и нейросети. Практикум
Название: Теория пределов и нейросети. Практикум
Автор:
Жанры: Математика | Практикумы
Серии: Нет данных
ISBN: Нет данных
Год: 2024
О чем книга "Теория пределов и нейросети. Практикум"

Решению практических задач и выполнению практических заданий по нахождению пределов функций традиционными методами и с помощью нейросетей и посвящена данная книга.

Бесплатно читать онлайн Теория пределов и нейросети. Практикум


Глава 1


Теория пределов является фундаментальной частью математического анализа и играет ключевую роль в понимании концепций производной и интеграла. Если по существу, то предел функции описывает ее поведение, когда аргумент функции стремится к определенному значению.


Решению практических задач и выполнению практических заданий по нахождению пределов функций традиционными методами и с помощью нейросетей и посвящена данная книга.


1.Выполнение практических заданий


1. Найти предел функции f(x) = (x^2 +1)/( x^2 – 1) при x стремящегося к бесконечности.


Нейросеть Маша (СhatGPT-4)

Чтобы найти предел функции ( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 – 1} ) при ( x ) стремящемся к бесконечности, можно выполнить следующие шаги:

Разделим числитель и знаменатель на ( x^2 ): [ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 – 1} = \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{1 – \frac{1}{x^2}} ]

При ( x \to \infty ), члены ( \frac{1}{x^2} ) стремятся к 0: [ f(x) \to \frac{1 + 0}{1 – 0} = \frac{1}{1} = 1 ]

Таким образом, предел функции ( f(x) ) при ( x ) стремящемся к бесконечности равен:

[\lim_{x \to \infty} f(x) = 1]. Ответ: 1.


Традиционное решение

lim (x→к бесконечности)f(x)= lim (x→к бесконечности)(x^2 +1)/( x^2 – 1)=

= lim (x→к бесконечности)(x^2/x^2 + 1/x^2)/( x^2/x^2 – 1/x^2)I числитель и знаменатель функции делим на x^2 I= (1 + 0)/(1 – 0) = 1/1 = 1. Ответ: 1.


2.Найти предел функции f(x) = 4x +2x^2 при x стремящемся к 1.

Нейросеть Маша (СhatGPT-4)

Чтобы найти предел функции \( f(x) = 4x + 2x^2 \) при \( x \) стремящемся к 1, подставим 1 в функцию:

\[f(1) = 4(1) + 2(1)^2 = 4 + 2 = 6\]

Таким образом, предел функции:

\[\lim_{x \to 1} f(x) = 6\].Ответ: 6.


3.Найти предел функции f(x) = (x^2 – 3x +2)/( 2x^2 – 5x +2) при x стремящемся к 2.

Нейросеть Маша (СhatGPT-4)


Чтобы найти предел функции \[f(x) = \frac{x^2 – 3x + 2}{2x^2 – 5x + 2}\]

при \( x \) стремящемся к 2, сначала подставим 2 в функцию:

\[f(2) = \frac{2^2 – 3(2) + 2}{2(2^2) – 5(2) + 2} = \frac{4 – 6 + 2}{8 – 10 + 2} = \frac{0}{0}\]

При подстановке получаем неопределенность \( \frac{0}{0} \). Необходимо упростить выражение.

Разложим числитель и знаменатель на множители:

1. Числитель: \( x^2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2) \).

2. Знаменатель: \( 2x^2 – 5x + 2 = (2x – 1)(x – 2) \).

Теперь подставим в предел:

\[f(x) = \frac{(x – 1)(x – 2)}{(2x – 1)(x – 2)}\]

Сократим \( (x – 2) \):\[f(x) = \frac{x – 1}{2x – 1}\]

Теперь найдем предел, подставив \( x = 2 \):

\[\lim_{x \to 2} f(x) = \frac{2 – 1}{2(2) – 1} = \frac{1}{4 – 1} = \frac{1}{3}\]

Таким образом, предел функции равен:

\[\lim_{x \to 2} f(x) = \frac{1}{3}\].Ответ: 1/3.


Традиционное решение

lim (x→2)f(x)= lim (x→2)(x^2 – 3x+2)/( 2x^2 – 5x +2)= lim (x→2)((x – 1)(x – 2)/( 2x – 1)(x – 2)) =

= I числитель и знаменатель функции сокращаем на (x -2) I= (x – 1)/(2x – 1) = 1/3. Ответ: 1/3.


4.Найти предел функции f(x) = ((1+x)^(1/2) – (1- x)^(1/2))/3x при x стремящемся к 0.


Нейросеть Маша (СhatGPT-4)


Чтобы найти предел функции \[f(x) = \frac{\sqrt{1+x} – \sqrt{1-x}}{3x}\]

при \( x \) стремящемся к 0, подставим 0 в функцию:

\[f(0) = \frac{\sqrt{1+0} – \sqrt{1-0}}{3 \cdot 0} = \frac{1 – 1}{0} = \frac{0}{0}\]

При подстановке получаем неопределенность \( \frac{0}{0} \). Чтобы решить это, применим метод умножения на сопряженное выражение:

Умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} \):

\[f(x) = \frac{(\sqrt{1+x} – \sqrt{1-x})(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})}{3x(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})}\]

В числителе получаем:

\[(\sqrt{1+x})^2 – (\sqrt{1-x})^2 = (1+x) – (1-x) = 2x\]

Таким образом, выражение становится:

\[f(x) = \frac{2x}{3x(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})} = \frac{2}{3(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})}\]

Теперь можем найти предел:

\[\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{2}{3(\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0})} = \frac{2}{3(1 + 1)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\]

Таким образом, предел функции равен:

\[\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{3}\]/.Ответ: 1/3.

Традиционное решение

lim (x→0)f(x)= lim (x→0)((1+x)^(1/2) – (1- x)^(1/2))/3x)= lim (x→0)(1 + x – 1 + x )/3x((1+x)^(1/2) + (1- x)^(1/2)) = I числитель и знаменатель функции умножаем на (1+x)^(1/2) + (1- x)^(1/2)I = 2/(3(1+1)) = 1/3. Ответ: 1/3.


5.Найти предел функции f(x) = (1 – cosx)/5x^2 при x стремящемся к 0.


Нейросеть Маша (СhatGPT-4)


Чтобы найти предел функции \[f(x) = \frac{1 – \cos x}{5x^2}\]

при \( x \) стремящемся к 0, подставим 0:

\[f(0) = \frac{1 – \cos(0)}{5(0)^2} = \frac{0}{0}\].

Получаем неопределенность \( \frac{0}{0} \). Используем формулу для приближения функции \( \cos x \) при \( x \) стремящемся к 0:

\[1 – \cos x \approx \frac{x^2}{2}\]

Таким образом, мы можем переписать функцию:

\[f(x) \approx \frac{\frac{x^2}{2}}{5x^2} = \frac{1}{10}\]

Теперь можем найти предел:\[\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{10}\]

Таким образом, предел функции равен:

\[\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{10}\].

Традиционноерешение

lim(x→0)f(x)= lim(x→0)(1- cos x)/5x^2) = lim (x→0)(2sin^2(x/2)/5x^2) = I применим тригонометрическую формулу половинного аргумента (1 – cosx) = 2sin^2(x/2)I = 2/5 lim(x→0) (sin^2(x/2)/4(x/2)^2) = 1/10 lim(x→0)(sin^2(x/2)/(x/2)^2) = 1/10 lim(x→0)((sin(x/2)/(x/2)) = I здесь функция представляет собой первый замечательный предел в квадратеI = (1/10)(1^2) = 1/10/

Ответ: 1/10.

6. Найти предел функции f(x) = (x^2 + 4 + 2x^4)/(x – 2 + 3x^4) при x стремящемся к бесконечности.


GPTutor


Чтобы найти предел функции ( f(x) = \frac{x^2 + 4 + 2x^4}{x – 2 + 3x^4} ) при ( x ) стремящемся к бесконечности (( x \to \infty )), мы можем использовать алгебраические методы пределов.

Для начала, определим степень числителя и знаменателя:

В числителе ( x^2 + 4 + 2x^4 ) наибольшая степень ( x^4 ).

В знаменателе ( x – 2 + 3x^4 ) также наибольшая степень ( x^4 ).

Теперь применим правило Лопиталя, так как степени числителя и знаменателя одинаковы и равны:

[ \lim_{{x \to \infty}} \frac{x^2 + 4 + 2x^4}{x – 2 + 3x^4} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{8x^3 + 0 + 8x^3}{1 + 12x^3} ]

После дифференцирования числителя и знаменателя по ( x ):

[ \lim_{{x \to \infty}} \frac{8x^3 + 0 + 8x^3}{1 + 12x^3} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{16x^3}{12x^3} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} ]

Таким образом, предел функции ( f(x) = \frac{x^2 + 4 + 2x^4}{x – 2 + 3x^4} ) при ( x ) стремящемся к бесконечности равен ( \boxed{\frac{4}{3}} ).Ответ:4/3.


7.Найти предел функции f(x) = 4x +2x^3 + 3 при x стремящемся к – 1.

GPTutor


Чтобы найти предел функции ( f(x) = 4x + 2x^3 + 3 ) при ( x ) стремящемся к ( -1 ), мы можем использовать алгебраические методы пределов. В данном случае, функция ( f(x) ) не содержит разрывов в окрестности ( x = -1 ), так что мы можем вычислить предел напрямую.

Вычислим предел:

[ \lim_{{x \to -1}} (4x + 2x^3 + 3) ]

Подставляем ( x = -1 ):

[ f(-1) = 4(-1) + 2(-1)^3 + 3 ]


С этой книгой читают
Иногда вот так просто и совсем неожиданно в детективных романах популярных писателей можно понять и найти ответы на самые насущные проблемы инормационной безопасности.
Эта книга открывает серию учебных пособий по таким важным разделам математики как Теория множеств, Математическая логика, Комбинаторика и Теория вероятностей.Особенностью данных книг является широкое привлечение в качестве помощников при выполнении упражнеий и заданий систем искусственного интеллекта (нейросетей).Дается оценка результатов их применения.
Эта книга продолжает серьезный разговор, начатый книгой «Работа в среде Windows и Linux» об операционных системах и средах, и переводит его на уровень контроля учебного процесса в ссузах с широким применением тестов и нейросетей.
Эта книга рассказывает о небольшом путешествии по двум парковым комплексам города Зеленогорска: парку культуры и отдыха и памятнику – мемориалу погибшим советским воинам в боях за то, чтобы Карейский перешеек оставался российским. Об историческом подвиге 4-х героев Советского Союза, бюсты которых украшают этот воинский мемориал, тоже описывается в этой книге.Вечная слава и память советским воинам, защищавшим честь и свободу нашей родины!.
Данная книга является переводом одноименной книги из комплекта технической документации, поставляемой в составе дистрибутива R, и призвана восполнить пробел в русской локализации системы R.
Данная книга имеет особенности объяснения настолько далёких от человеческого сознания особенностей окружающего мира планеты Земля и окружающего её Космического пространства, что фактически выводит его намного, далеко вперёд, опережая всю настоящую современность. Познание гения математики Г. Перельмана и его коллег есть тому пример, как можно найти искомое, даже не поняв этого. Сама логика всей земной математики есть путь преодоления Незнания упра
Данный урок рассчитан на детей от 3-х лет. В книге дано 6 упражнений, каждое из которых включает в себя несколько заданий, направленных на знакомство с буквой -а- и цифрами от 1 до 6, на развитие навыков чтения, письма в прописях, счёта и рисования. В книге даны раскраски, содержащие мелкие детали, что, в свою очередь, способствует развитию мелкой моторики и облегчает приобретение навыков письма. Пособие содержит красочные иллюстрации.
Тренажёр для подготовки к контрольным работам по математике. Книга состоит из 4 частей. в первой части содержатся контрольные работы по математике. Для каждой темы составлены 4 варианта работ. Вторая часть книги состоит из самостоятельных работ по математике. Каждая самостоятельная работа состоит из двух вариантов одинаковой сложности. Третья часть книги поможет ребёнку подготовиться к математическим диктантам. В четвёртой части книги содержатся
Коммуникации – определяющий фактор успеха в конкуренции на любом рынке. Будь то семья, частная компания или система государственной власти именно внедренная система коммуникации, которая отвечает требованиям рынка и ожиданиям поколений, принесет экономический результат всем участникам системы.
Как часто мы даем советы другим, как правильно поступать, как правильно жить. Откуда в нас такая уверенность, что мы имеем на это право? Может ли быть такое, что человек без наших советов способен прожить счастливую жизнь?
Жизнь обычного работяги Бахытжана развалилась в один прекрасный день ,когда начальник уволил с работы ,а отец выгнал из дома. Баха шел холодным вечером по районам города и не знал что делать. Но всё изменилось ,когда ему на пути встретились говорящие крысы…
Кукинар – доставитель противоядий мира Эльфии, которая находится на границе миров. Жители Эльфии пережили множество вех, они живут в отчасти постапокалиптическом будущем, в котором есть отголоски технологий и магии, они хорошо относятся к природе и поют песни. Мир Кукинара раскрывается по пути знакомства с сюжетом, в тексте много отголосков фэнтези и героических приключений.