М. Сихов - Тесты и их решения по финансовой математике

В настоящий момент времени открыты 2 счета «Фонд А» и «Фонд В» для перечисления на них взносов. На каждый из счетов начисляются простые проценты по годовой ставке .

В Фонд А будет перечислен только один взнос в размере 8200 через 3.25 года с настоящего момента времени.

В Фонд В будет перечислено три взноса. Первый взнос в размере 2400 будет перечислен через 1 год с настоящего момента времени. Второй взнос в размере 2700 будет перечислен через 3.5 года с настоящего момента времени. Третий взнос в размере 3000 будет перечислен через 4 года с настоящего момента времени. В конце 4 – летнего периода (сразу после третьего взноса в Фонд В), на обоих счетах будут накоплены одинаковые суммы.

Найдите значение

.

A. Меньше 4.0%

B.4.0 %, но меньше4.5%

C. 4.5 %, но меньше 5.0%

D. 5.0 %, но меньше 5.5%

E. 5.5 % или больше

Решение.

Фонд А

Фонд В

Приравнивая накопленные суммы в фондах А и В, имеем

Отсюда

.

Годовая ставка процентов равна 12 %. Необходимо найти эквивалентную номинальную ставку дисконта, начисляемого 9 раз в год.

В каком из следующих интервалов находится эта ставка?

A. меньше 10.90%

B. 10.90 %, но меньше11.30%

C. 11.30 %, но меньше 11.70%

D. 11.70 %, но меньше 12.10%

E. 12.10 % или больше

Решение.

Пусть

– эффективная годовая ставка процента, – эффективная годовая ставка дисконта, – номинальная ставка процента, -номинальная ставка дисконта, начисляемые m раз в год, тогда справедливы формулы (cм. (1.21) из [1])

(1.1)

для всех положительных целых значений m и n.

Пользуясь этими формулами, получим

, следовательно , откуда мы находим .

Решение на калкуляторе.

1-шаг (

): 2nd ICONV; 2nd CLR WORK; (NOM=); ↑(C/Y=) 9 ENTER; ↑(EFF=) 12 ENTER; ↑ (NOM=); CPT: NOM = 11.4045 %;

Теперь пользуясь формулой справедливой для эффективных ставок(cм. (1.16) из [1])

, т.е. (1.2)

имеем

2-шаг (расчет

): 11.4045/(1+0.114045/9)=11.26 %.

Решение на компьютере.

1-шаг (

): НОМИНАЛ(Факт_ ставка=12 %; Кол_пер=9)= 11.4045 %;

2-шаг (расчет

): 11.4045/(1+0.114045/9)=11.26 %.

Банк предлагает ипотечную ссуду по ставке 14 % годовых, начисляемых 12 раз в год.

В каком из следующих интервалов находится разность между

и ?

A. Меньше (-0.7)%

B.(-0.7)%, но меньше (-0.3)%%

C. (-0.3)%, но меньше 0.1%

D. 0.1 %, но меньше 0.5%

E. 0.5 % или больше

Решение.

В силу (1.1)

.

Следовательно, учитывая, что

получим

, .

Тем самым,

Решение на калкуляторе.

Cначала перейдем от ставки

к ставке по следующей схеме:

.

1-шаг (расчет

): 2^>nd ICONV; 2^>nd CLR WORK; (NOM=) 14 ENTER; ↑(C/Y=) 12 ENTER; ↑(EFF=) CPT: EFF = 14.934;

↓ (C/Y=) 4 ENTER; ↓ (NOM=) CPT: NOM=14.164

14.164/4 =3.541 %;

Продолжая, в силу (1.2) имеем

2-шаг (расчет

): :100 (переход от % к числовому значению); +1=; (функция деления); 3.541 %=13.68 %;

3-шаг (расчет

): 2^>nd ICONV; 2^>nd CLR WORK; (NOM=) 14 ENTER; ↑(C/Y=) 12 ENTER; ↑(EFF=) CPT: EFF = 14.934 %;

↓ (C/Y=) 9 ENTER; ↓ (NOM=) CPT: NOM=14.027 % ;

4-шаг (расчет

): (переход -14.027 %); +13.68=-0.35.

Решение на компьютере.

Cначала перейдем от ставки

к ставке по следующей схеме:

.

1-шаг (

): ЭФФЕКТ(Номинальная ставка=14 %; Кол_пер=12)= 14.934 %;

2-шаг (

): ↓ НОМИНАЛ(Факт_ ставка=14.934 %; Кол_пер=4)= 14.164 % 14.164 %/4 =3.541 %;

Далее, силу (1.2) имеем

3-шаг (расчет

): 14.164 % / (3.541 % +1)=13.68 %;

4-шаг (

): НОМИНАЛ(Факт_ ставка=14.934 %; Кол_пер=9)= 14.027 %; 5-шаг (расчет ): 13.68 %-14.027 %=-0.35.

Фонд Х имеет номинальную ставку процента 11 % годовых, начисляемых ежеквартально. Фонд У имеет номинальную ставку дисконта 10 % годовых, начисляемых каждые полгода.

В каком из следующих интервалов находится разность между интенсивностями процентов для этих фондов?

A. Меньше (-1)%

B. (-1)%, но меньше (-0.3)%%

C. (-0.3)%, но меньше 0.4%

D.0.4 %, но меньше 1.1%

E. 1.1 % или больше

Решение.

По условию

и .

Интенсивность процента δ определяется следующим образом (см. (1.24) из [1])

δ = ln(1 +i). (1.3)

Отсюда, в силу (1.1) для интенсивности процентов для фондов X и Y соответственно, получим

Следовательно

Решениенакалкуляторе.

1-шаг (расчет

): 2^>nd ICONV; 2^>nd CLR WORK; (NOM=) 11 ENTER; ↑(C/Y=) 4 ENTER; ↑(EFF=) CPT: EFF = 11.462;

2-шаг (расчет

): :100 (переход от % к числовому значению); +1=; ; *100=10.85 %;

Далее, силу (1.4) имеем

3-шаг (расчет

): 0.1/2=;; +1=; ; ; ; 10.26 %;

4-шаг (расчет

):; +10.85=0.59 %;

Решение на компьютере.

1-шаг (

): ЭФФЕКТ(Номинальная ставка=11 %; Кол_пер=4)= 11.462 %;

2-шаг (расчет

): =10.85 %;

Далее, силу (1.4) имеем

3-шаг (расчет

): 10.26 %;

4-шаг (расчет

):10.85 %-10.26 %=0.59 %.

Найдите число n , такое, что

В каком из следующих интервалов находится n ?

A. Меньше 2

B.2, но меньше3

C. 3, но меньше 4

D. 4, но меньше 5

E. 5 или больше

Решение.

В силу (1.1)

.

Тем самым

Пусть

. Найти .

A.

B.

C.

D.

E.

Решение.

Пользуясь формулой (1.32) из [1] легко убедиться, что (положим

)

.

Cумма 500 единиц возрастает до 570 через 9 месяцев в случае начисления простых процентов.

В каком из следующих интервалов находится

?

A. меньше 13.50%

B. 13.50 %, но меньше 15.50%

C.15.50 %, но меньше17.50%

D. 17.50 %, но меньше 19.50%

E. 19.50 % или больше

Решение.

Накопленная сумма 500 единиц через 9 месяцев в случае начисления простых процентов будет равна

Следовательно

.

Поэтому из (1.1) следует, что

.

Решение на калкуляторе.

1-шаг: Cначала как выше посчитаем

.

2-шаг(расчет

): 2^>nd ICONV; 2^>nd CLR WORK; (NOM=); ↑(C/Y=) 3 ENTER; ↑(EFF=) 18.667 ENTER; ↑(NOM=); CPT: NOM = 17.6127;

/3 =5.8709;

Продолжая, в силу (1.2) имеем

3-шаг (расчет

): :100 (переход от % к числовому значению); +1=; (функция деления); 17.6127 %=16.64 %.

Решение на компьютере.

1-шаг (

):НОМИНАЛ(Факт_ ставка=18.667 %; Кол_пер=3)= 17.6127 %;

Далее, силу (1.2) имеем

3-шаг (расчет

): 17.6127 %/ (17.6127 %/3+1)=16.64 %.

Алма и Жанна пожертвуют университету деньги. Алма произведет 3 платежа в размере 3200 каждый. Первый платеж будет сделан 1 января 1998 года, а остальные – 1 января в каждый из последующих двух лет. Жанна произведет только один платеж в размере 9800. Если эффективная процентная ставка составляет 2 % в месяц, а текущие стоимости пожертвований на 1 января 1998 года равны, то в каком из перечисленных месяцев Жанна произведет свой платеж?

A. Июль 1998 года

B. Август 1998 года

C. Сентябрь 1998 года

D.Январь 1999 года

E. Декабрь 1998 года

Решение.

По условию

. Сначала пользуясь соотношением (1.1) определим эффективную годовую процентную ставку

Теперь предполагая, что платеж 9800 будет произведен Жанной в момент времени t и приравнивая текущие стоимости пожертвований на 1 января 1998 года имеем

.

т. е. получим диаграмму

Решая это уравнение относительно ежемесячного периода t, находим