Петр Путенихин - Векторные свойства гравитационного потенциала

Гравитационные взаимодействия характеризуются двумя основными понятиями – силой гравитационного притяжения и гравитационным потенциалом. Хотя очевидно, что сила гравитационного притяжения является вектором, уравнение закона всемирного тяготения, тем не менее, записывают в виде скаляра. В связи с этим отметим одно интересное наше наблюдение. Если какая-то величина может иметь отрицательное значение, то такую величину определённо можно считать вектором. В частности, закон всемирного тяготения иногда пишут со знаком минус

При этом нередко уточняется, что знак минус означает притяжение. Логически это легко объяснимо. Если масса находится в начале координат, то все положительные векторы направлены "наружу", от этого начала. Но сила притяжения направлена извне в сторону тела, в сторону начала координат. То есть, её можно рассматривать как отрицательный скаляр, так и как вектор, направленный в сторону начала координат. Но если эта величина, сила является вектором по указанной выше минусовой причине, записать это можно в следующей векторной форме

Знак минуса отбрасываем, поскольку направление силы теперь определяется вектором. Поскольку в записи под знаком вектора имеются константы, их можно вынести

Запись, как видим, приобрела более явный векторный вид. Однако в знаменателе присутствует квадрат вектора или, по меньшей мере, произведение вектора на самого себя

Известны два произведения векторов: векторное и скалярное. В нашем случае скалярное произведение неприменимо, поскольку его результат – скаляр, то есть, уравнение перестаёт быть векторным. Но и векторное произведение нас не устраивает, поскольку в этом случае направление вектора уже не совпадает с направлением силы. Выход только один: один из одинаковых сомножителей в знаменателе должен потерять статус вектора

На первый взгляд, это ничем не обоснованный произвол в записи уравнения. В сущности, величиной вектора мы можем считать и квадрат скаляра. Но пока рассмотрим другой вариант, ведущий к интересным выводам. Перепишем уравнение ещё раз с учетом разделения сомножителей

(1)

Замечаем, что левый сомножитель в последнем равенстве выглядит как традиционный гравитационный потенциал тела M, но записанный в векторной форме. Насколько это оправдано? Почему не обозначить вектором второй, правый сомножитель, а первый оставить в прежней, не векторной форме? Конечно, это возможно и до данного момента используется повсеместно, но в этом случае векторная форма второго сомножителя приобретает весьма неясную форму. А вот векторная форма гравитационного потенциала приобретает весьма осмысленный вид с далеко идущими последствиями.