Шухрат Самидинович Сайитов, Жамолиддин Солиджанович Абдуллаев - Все науки. №6, 2023. Международный научный журнал

УДК 150.145

Аннотация. Невозможность интуитивного понимания самого различного спектра квантовых явлений сводит к необходимости использования перед всеми эмпирическими и экспериментальными действиями всех физико-математических методов. Одним из самым популярным и важных в данном ключе является линейное дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее изменение в пространстве и во времени чистого состояния, задаваемое волновой функцией, в гамильтоновых квантовых системах для фотонных явлений выражаемое в стационарном состоянии.

Ключевые слова: уравнение Шрёдингера, стационарное состояние, спектральные задачи, квантование, дифференциальное уравнение, физико-математическое вычисление и моделирование.

Annotation. The impossibility of intuitive understanding of the most diverse spectrum of quantum phenomena reduces to the need to use all physical and mathematical methods before all empirical and experimental actions. One of the most popular and important in this vein is a linear partial differential equation describing the change in space and time of the pure state, given by the wave function, in Hamiltonian quantum systems for photonic phenomena expressed in a stationary state.

Keywords: Schrodinger equation, stationary state, spectral problems, quantization, differential equation, physical and mathematical calculation and modeling.

Перед представлением самого вопроса, стоит отметить представление самого одномерного стационарного уравнения Шредингера, являющееся линейным обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка (1), которое применяется в том числе и для решения задач спектрального плана при волновом моделировании фотонных явлений.

С целью решения такого подхода задач необходимо ввести граничные условия (2), в зависимости от постановки коих можно определить общее описание ситуации и при этом стоит обратить внимание на констатирование показателей (3).

Разумеется, можно было бы постараться определить общее решение, однако, к большому сожалению, это попросту невозможно и необходимо вводить те или иные граничные условия, которые сводятся из тех или иных условий. Яркий пример таких состояний – решение для свободной частицы, которая является по своей сути плоской волной. И если принять потенциальное уравнение для свободной частицы, в том числе и при принятии корпускулярной формы фотонов, можно получить уравнение (4).

Одним из частных решений является функция (5), выводимая через прямое решение дифференциального уравнения второго порядка.

В (4) константа Е может принимать практически все значения выше нуля, именно отсюда можно сделать вывод, что значения относятся к непрерывному спектру. Более того, для определения его границ необходимо использовать интегральное уравнение (6), откуда и получается получаемая константа С из (5).

Отсюда и получается значение (7).

И наконец, при подстановке, можно получить решение уравнения (4), для случая свободной частицы, которая в том числе, при волновом исчислении является суперпозицией плоских волн (9).

Но если это был только один из частных случаев, то стоит рассмотреть и случай нахождения в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ведь если обратить внимание на представления этого вопроса, то это вполне может быть сводимый к этому случай в лице входа фотона в тот или иной атом, при условии приближения к электронным оболочкам, выход из коих и может сыграть роль бесконечно высоких стенок потенциальной ямы. Также ещё один более масштабный макро-пример – это приближение к чёрной дыре фотонного излучения. Для таких случаев и интервалов уравнение Шредингера совпадает с представлением согласно (4), откуда граничные условия для волновой функции, ранее обозначаемые алгебраически (2), представляются как (10—11).

Решение, как можно было обратить внимание из прочих частных решений может быть сведено к форме (12).

Но если теперь для этого вида ввести граничные формы, можно прийти к решению показателя энергии как (13).

Наконец, теперь остаётся лишь ввести собственные функции, наряду с общей нормировкой и получить результирующее решение (14).

Таким образом были рассмотрены некоторые из частных решений линейного уравнения Шредингера, каждая из коих может быть интерпретирована в лице решения того или иного вида или формы, количество коих может быть огромным.

1. Allday Jonathan. Quantum Reality: Theory and Philosophy. 2^>nd edition. – CRC Press, 2023. – 505 p. – ISBN: 978-1-032-12734-7.

2. Aaserud Finn, Kragh Helge (eds.) One Hundred Years of the Bohr Atom. Proceedings From a Conference. – Copenhagen: Scientia Danica, Det Kongelige Danske Videskabernes Selskab, 2015. – 559 p.

3. Agarwala A. Excursions in III-Condensed Quantum Matter: From Amorphous Topological Insulators to Fractional Spins. Springer, 2019. – 177 p. – (Springer Theses). – ISBN: 9978-3-030-21510-1.