Аурика Луковкина - Высшая математика. Шпаргалка

Координата точки – это величина, определяющая положение данной точки на плоскости, на прямой или кривой линии или в пространстве. Значение координаты зависит от выбора начальной точки, от выбора положительного направления и от выбора единицы масштаба.

Прямоугольная система координат состоит из двух взаимно перпендикулярных прямых – осей, точка их пересечения – начало координатО, ось ОХ – ось абсцисс, ось ОY – ось ординат. На осях выбираются масштаб и положительное направление.

Рис. 1

Системы координат

Положение точки М определяется двумя координатами: абсциссой х и ординатой у. Записывается так: М(х, у). Оси координат образуют четыре координатных угла I, II, III, IV. Если точка находится в I координатном угле (квадранте), то и абсцисса, и ордината ее положительные, если – во II квадранте, то абсцисса отрицательна, а ордината положительна, если в – III квадранте, и абсцисса, и ордината отрицательны, если – в IV квадранте, положительна абсцисса, а ордината отрицательна. У точки, лежащей на оси ординат, абсцисса равна нулю, и наоборот, если точка лежит на оси абсцисс, то ее ордината равна нулю.

Косоугольной системой координат аналогична прямоугольной, только оси координат пересекаются под углом не равным прямому. Прямоугольная и косоугольная системы относятся к декартовой системе координат.

Полярная система координат состоит из полюса О и полярной осиОХ, проведенной из полюса. Положение точки определяется полярным радиусом ρ (отрезок ОМ) и полярным угломφ. Для полярного угла берется его главное значение (от –π до π). Числа ρ, φ называются полярными координатами точки М.

Связь между координатами точки в прямоугольной и полярной системах координат: x = r cosφ, y = r sinφ или:

Пусть имеются две точки М_>1(х_>1, у_>1) и М_>2(х_>2, у_>2). Расстояние между точками:

Общее уравнение прямой линии (система координат прямоугольная): Ах + Ву + С = 0 (А и В одновременно не равны нулю).

Если В не равно нулю, то уравнение прямой: у = ах + b (здесь а = – А / В, b = – С / В). Здесь а есть тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс, b равно длине отрезка от начала координат до точки пересечения рассматриваемой прямой с осью ординат. Уравнение прямой, параллельной оси абсцисс: у = b, уравнение оси абсцисс: у = 0; уравнение прямой, параллельной оси ординат: х = с, уравнение оси ординат: х = 0.

1. Пусть даны три точки А_>1 (х_>1, у_>1), А_>2 (х_>2, у_>2), А_>3 (х_>3, у_>3), тогда условие нахождения их на одной прямой:

либо (х_>2 – х_>1) (у_>3 – у_>1) – (х_>3 – x_>1) (у_>2 – у_>1) = 0.

2. Пусть даны две точки А_>1 (х_>1, у_>1), А_>2 (х_>2, у_>2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти две точки:

(х_>2 – х_>1)(у – у_>1) – (х – х_>1)(у_>2 – у_>1) = 0 или (х – х_>1) / (х_>2 – х_>1) = (у – у_>1) / (у_>2 – у_>1).

3. Пусть имеются точка М (х_>1, у_>1) и некоторая прямая L, представленная уравнением у = ах + с. Уравнение прямой, проходящей параллельно данной прямойLчерез данную точкуМ:

у – у_>1 = а(х – х_>1).

Если прямая L задана уравнением Ах + Ву + С = 0, то параллельная ей прямая, проходящая через точку М, описывается уравнением А(х – х_>1) + В(у – у_>1) = 0.

Уравнение прямой, проходящей перпендикулярно данной прямойLчерез данную точкуМ:

у – у_>1 = –(х – х_>1) / а

или

а(у – у_>1) = х_>1 – х.

Если прямая L задана уравнением Ах + Ву + С = 0, то параллельная ей прямая, проходящая через точку М(х_>1, у_>1), описывается уравнением А (у – у_>1) – В(х – х_>1) = 0.

4. Пусть даны две точки А_>1 (х_>1, у_>1), А_>2 (х_>2, у_>2) и прямая, заданная уравнением Ах + Ву + С = 0. Взаимное расположение точек относительно этой прямой:

1) точки А_>1, А_>2 лежат по одну сторону от данной прямой, если выражения (Ах_>1 + Ву_>1 + С) и (Ах_>2 + Ву_>2 + С) имеют одинаковые знаки;

2) точки А_>1, А_>2 лежат по разные стороны от данной прямой, если выражения (Ах_>1 + Ву_>1 + С) и (Ах_>2 + Ву_>2 + С) имеют разные знаки;

3) одна или обе точки А_>1, А_>2 лежат на данной прямой, если одно или оба выражения соответственно (Ах_>1 + + Ву_>1 + С) и (Ах_>2 + Ву_>2 + С) принимают нулевое значение.

5. Центральный пучок – это множество прямых, проходящих через одну точку М (х_>1, у_>1), называемую центром пучка. Каждая из прямых пучка описывается уравнением пучка у – у_>1 = к (х – х_>1) (параметр пучкак для каждой прямой свой).

Все прямые пучка можно представить уравнением: l(y – y_>1) = m(x – x_>1), где l, m – не равные одновременно нулю произвольные числа.

Если две прямые пучка L_>1 и L_>2 соответственно имеют вид (А_>1х + В_>1у + С_>1) = 0 и (А_>2х + В_>2у + С_>2) = 0, то уравнение пучка: m_>1(А_>1х + В_>1у + С_>1) + m_>2(А_>2х + В_>2у + С_>2) = 0. Если прямые L_>1 и L_>2 пересекающиеся, то пучок центральный, если прямые параллельны, то и пучок параллельный.

6. Пусть даны точка М (х_>1, у_>1) и прямая, заданная уравнением Ах + Ву + С = 0. Расстояниеd от этой точкиМдо прямой:

Полярными параметрами прямой L будут полярное расстояниер (длина перпендикуляра, проведенного к данной прямой из начала координат) и полярный уголα (угол между осью абсцисс ОХ и перпендикуляром, опущенным из начала координат на данную прямую L). Для прямой, представленной уравнением Ах + Ву + С = 0: полярное расстояние

полярный угол α

причем при C > 0 берется верхний знак, при C < 0 – нижний знак, при С = 0 знаки берутся произвольно, но либо оба плюса, либо оба минуса.

Нормальное уравнение прямой (уравнение в полярных параметрах) (cм. рис. 2): x cosα + y sinα – p = 0. Пусть прямая представлена уравнением вида Ах + Ву + С = 0. Чтобы данное уравнение привести к нормальному виду необходимо последнее разделить на выражение

Рис. 2

После деления получается нормальное уравнение данной прямой:

Пусть имеется прямая L, которая пересекает оси координат. Тогда данная прямая может быть представлена уравнением в отрезках х / а + у / b = 1. Справедливо: если прямая представлена уравнением х / а + у / b = 1, то она отсекает на осях отрезки а, b.

Преобразование координат возможно путем переноса начала координат, или поворотом осей координат, или совместно переносом начала и поворотом осей.

При переносе начала координат справедливо следующее правило: старая координата точки равна новой, сложенной с координатой нового начала в старой системе. Например, если старые координаты точки М были х, у, а координаты нового начала в старой системе О*(х_>0, у_>0), то координаты точки М в новой системе координат с началом в точке О* будут равны х – х_>0, у – у_>0 т. е. справедливо следующее