Дмитрий Оголихин - Метод конечных элементов

Метод конечных элементов
Название: Метод конечных элементов
Автор:
Жанр: Механика
Серии: Нет данных
ISBN: Нет данных
Год: 2018
О чем книга "Метод конечных элементов"

Многие инженеры, несмотря на высшее образование, не знают, что такое метод конечных элементов (МКЭ) и оставляют задачи расчёта конструкций дорогостоящим программным продуктам типа Ansys или Nastran.Назначение этой книги – показать, что МКЭ является таким же несложным методом, как и весь сопромат.

Бесплатно читать онлайн Метод конечных элементов


Введение

Метод конечных элементов – один из т. н. сеточных методов. Такие методы предполагают рассмотрение цельной конструкции как совокупности отдельных конечных элементов, как показано на рисунке 1.


Рисунок 1. Разбиение конструкции на конечные элементы. а – нумерация конечных элементов; б – нумерация узлов.


В качестве конечных элементов выступают знакомые нам из сопротивления материалов и строительной механики стержни, балки, плиты, оболочки и т. п. По сути своей решение методом конечных элементов сводится к решению уравнения задачи в динамической постановке:

M∙d>2u/dt>2+C∙ du/dt+K∙u = P

где M – матрица масс конструкции;

C – матрица демпфирования конструкции;

K – матрица жёсткости конструкции;

d>2u/dt>2 – вектор ускорений узлов конструкции;

du/dt – вектор скоростей узлов конструкции;

u – вектор перемещений узлов конструкции;

P – вектор узловых нагрузок.


Если вектор узловых сил P не меняется во времени, то задача сводится к статической, описываемой уравнением:

K∙u = P

Так как многие задачи в машиностроении сводятся к статическим, то упор в книге будет делаться на них. Для рассмотрения задач будет использоваться среда MathCad 15.

Алгоритм МКЭ

Для того, чтобы решить уравнение необходимо провести предварительную подготовку. В общем и целом, алгоритм решения выглядит следующим образом:

1) Разбиение конструкции на конечные элементы;

2) Составление матрицы жёсткости каждого конечного элемента;

3) Перевод матрицы жёсткости из локальной системы координат в глобальную;

4) Составление глобальной матрицы жёсткости всей конструкции;

5) Приведение нагрузок к узловым;

6) Учёт закреплений;

7) Решение уравнения:

u = K>-1∙P

Операция 1, на взгляд автора, интуитивно понятная и не требует пояснений.

Операции 2–6 будут подробно рассмотрены ниже.

Операция 7 будут рассмотрена подробно в примерах.

Составление матрицы жёсткости КЭ

Матрица жёсткости связывает перемещения узлов с узловыми силами, как уже говорилось в введении. Размер матрицы жёсткости N определяется количеством узлов и степенью свободы для каждого узла по формуле:

N = n∙d

где N – размер матрицы жёсткости;

n – количество узлов в элементе;

d – количество степеней свободы элемента.


Например, для стержневого (ферменного) элемента, имеющего n = 2 узла, который по определению может только растягиваться или сжиматься, количество степеней свободы d = 1. Таким образом, N = n∙d = 2∙1 = 2. Матрица жёсткости будет иметь вид:


где K – матрица жёсткости;

k>11, k>12, k>21, k>22– элементы матрицы жёсткости.


Для конечных элементов, у которых количество степеней свободы больше единицы удобней представлять матрицу жёсткости поблочно. Например, для конечного элемента, у которого количество узлов n = 2 и количество степеней свободы d = 3матрицу жёсткости удобно представлять в виде:


где K – матрица жёсткости, размером [n×n]

k>11, k>12, k>21, k>22– элементы матрицы жёсткости, которые из себя так же представляют матрицы размером [d×d]:



Такое представление матрицы жёсткости позволит легко и удобно получить матрицу жёсткости всей конструкции.

Матрица жёсткости, обычно, составляется в локальной системе координат этого элемента. Для перевода матрицы жёсткости в глобальную систему координат используется матрица направляющих косинусов по формуле:

K>глоб = Λ>T∙K∙Λ

где K>глоб – матрица жёсткости в глобальной системе координат;

Λ – матрица направляющих косинусов.

Рассмотрим матрицы жёсткости типовых конечных элементов.

Стержневой элемент

На рисунке 2 показан стержневой конечный элемент.


Рисунок 2. Стержневой конечный элемент


На рисунке 2 xy – локальная система координат, а XY – глобальная.

Стержневой конечный элемент имеет два узла и одну степень свободы. Матрица жёсткости в локальной системе координат вычисляется по формуле:


где E – модуль упругости материла;

F – площадь поперечного сечения стержня;

L– длина конечного элемента.


Матрица формы КЭ:


где a – длина КЭ.


Если рассматривается задача, где конструкция и нагрузки находятся в одной плоскости, то матрица направляющих косинусов определяется по формуле:


где α – угол между осями X и x (отсчитывается против часовой стрелки).


Обратите внимание, что при переходе к глобальной системе координат матрица жёсткости стержневого элемента уже будет иметь размер 4×4, так как при рассмотрении плоской конструкции каждый узел имеет по 2 степени свободы (перемещение по горизонтали и вертикали).

Конец ознакомительного фрагмента. Полный текст доступен на www.litres.ru


С этой книгой читают
Очередная книга знаменитого популяризатора наук с помощью образных примеров и увлекательных задач заново знакомит юных читателей с уже встречавшейся им в школе механикой – одним из разделов физики, – а взрослым помогает освежить ее в памяти и, возможно, увидеть с другой стороны. Не как сухие тексты учебников, а как глубинные законы, которым подчиняется все на нашей планете и постигать которые по-настоящему интересно. С помощью науки объясняются с
Всеобъемлющее руководство по заботе о вашем двухколесном друге, предназначенное для мотоциклистов начального уровня. В книге вы найдете инструкции по регулярному техническому обслуживанию, советы по подготовке к сезону и рекомендации по правильному хранению мотоцикла в межсезонье.Читатели узнают, как поддерживать в отличном состоянии такие важные компоненты мотоцикла, как цепь и трансмиссия, тормоза и шины, что обеспечит безопасность и долгий сро
Здесь собран материал, который прошел проверку на многих группах судовых механиков, поэтому подвергся коррекции профессионалов.Задания составлены так, чтобы вы максимально изучили слова, прежде чем работать с текстами. Все поделено на короткие фрагменты для удобства работы.Информацию, представленную здесь, можно применять при прохождении собеседований, чтении мануалов, писем, документации, а также для профессионального общения в смешанном экипаже
Десять часов я провел в свой первый сезон за рулем болида Legends 600 на Автодроме ADM Raceway. Так появилась первая книга из цикла «Повести о Балансе» – "Колесо Жизни"…Разгоняя до мыслимого предела болид Legends 600 в качестве тест-пилота, разгоняя своих коллег уже будучи тренером, – я постоянно искал глубинные причины скорости в «кольце». А точнее сказать, – абсолютной Гармонии между пилотом и спорткаром. Природу Максимума, когда понимаешь, что
В руководстве впервые обобщены данные литературы и многолетнего опыта авторов по изучению этиологии, патогенеза, клинических проявлений, диагностики и лечения заболеваний и травм периферической нервной системы.Особое внимание уделено вопросам клинической оценки, электрофизиологической диагностики поражений периферической нервной системы и современным методам их лечения. Впервые в отечественной и зарубежной литературе представлены результаты экспе
Каждый выход советской подводной лодки на боевую службу был секретной операцией. Но случались и такие походы, о цели которых экипажи кораблей узнавали только в море. Автор книги, известный российский писатель-маринист Николай Черкашин, служивший на подводных лодках Северного флота, рассказывает о самых секретных операциях некогда мощнейшего в мире подводного флота СССР. В книгу включены походные дневники подводников, участвовавших в прорыве морск
Случайно открыв сообщения мужа, я узнаю, что он завел любовницу, которая годится в ровесницы нашей дочери. Полжизни позади и вот – измена! Горько, неприятно, обидно, а самое главное – вместо того, чтобы извиняться и умолять о прощении, он выливает на меня ушат грязи и уходит к молодой пигалице, напрочь забыв о двадцати пяти годах брака, которые мы прожили, как казалось, душа в душу.
Наёмник Холлан ещё не подозревает, что простое с виду задание заведёт его совсем не туда, куда он рассчитывает, и что далеко не все встречи случайны. Пока же ему приходится тащиться через княжества в поисках дурной наследницы, сбежавшей из дома. Ещё и мальчишка привязался – учи меня, говорит. При этом каждый второй считает своим долгом докопаться до татуировок Холлана и напомнить ему о прошлом, которое он так старательно пытается утопить в алкого