Матрица жёсткости связывает перемещения узлов с узловыми силами, как уже говорилось в введении. Размер матрицы жёсткости N определяется количеством узлов и степенью свободы для каждого узла по формуле:
где N – размер матрицы жёсткости;
n – количество узлов в элементе;
d – количество степеней свободы элемента.
Например, для стержневого (ферменного) элемента, имеющего n = 2 узла, который по определению может только растягиваться или сжиматься, количество степеней свободы d = 1. Таким образом, N = n∙d = 2∙1 = 2. Матрица жёсткости будет иметь вид:
где K – матрица жёсткости;
k>11, k>12, k>21, k>22– элементы матрицы жёсткости.
Для конечных элементов, у которых количество степеней свободы больше единицы удобней представлять матрицу жёсткости поблочно. Например, для конечного элемента, у которого количество узлов n = 2 и количество степеней свободы d = 3матрицу жёсткости удобно представлять в виде:
где K – матрица жёсткости, размером [n×n]
k>11, k>12, k>21, k>22– элементы матрицы жёсткости, которые из себя так же представляют матрицы размером [d×d]:
Такое представление матрицы жёсткости позволит легко и удобно получить матрицу жёсткости всей конструкции.
Матрица жёсткости, обычно, составляется в локальной системе координат этого элемента. Для перевода матрицы жёсткости в глобальную систему координат используется матрица направляющих косинусов по формуле:
где K>глоб – матрица жёсткости в глобальной системе координат;
Λ – матрица направляющих косинусов.
Рассмотрим матрицы жёсткости типовых конечных элементов.
На рисунке 2 показан стержневой конечный элемент.
Рисунок 2. Стержневой конечный элемент
На рисунке 2 xy – локальная система координат, а XY – глобальная.
Стержневой конечный элемент имеет два узла и одну степень свободы. Матрица жёсткости в локальной системе координат вычисляется по формуле:
где E – модуль упругости материла;
F – площадь поперечного сечения стержня;
L– длина конечного элемента.
Матрица формы КЭ:
где a – длина КЭ.
Если рассматривается задача, где конструкция и нагрузки находятся в одной плоскости, то матрица направляющих косинусов определяется по формуле:
где α – угол между осями X и x (отсчитывается против часовой стрелки).
Обратите внимание, что при переходе к глобальной системе координат матрица жёсткости стержневого элемента уже будет иметь размер 4×4, так как при рассмотрении плоской конструкции каждый узел имеет по 2 степени свободы (перемещение по горизонтали и вертикали).
Конец ознакомительного фрагмента. Полный текст доступен на www.litres.ru