Азамат Киреев - Наибольший общий делитель (НОД)

Наибольший общий делитель (НОД)
Название: Наибольший общий делитель (НОД)
Автор:
Жанры: Задачники | Практикумы
Серии: Нет данных
ISBN: Нет данных
Год: 2018
О чем книга "Наибольший общий делитель (НОД)"

В данной книге приводятся четыре алгоритма нахождения наибольшего общего делителя, необходимая теория, формулы, 29 примеров с решениями, 140 упражнений с ответами.

Бесплатно читать онлайн Наибольший общий делитель (НОД)


Предисловие

В данной книге приводятся четыре алгоритма нахождения наибольшего общего делителя, необходимая теория, формулы, 29 примеров с решениями, 140 упражнений с ответами.

Наибольший общий делитель (НОД) [двух чисел]

Теоретический материал

В таблице приведем два способа определения НОД.


Алгоритм №0.

Не является рациональным способом нахождения наибольшего общего делителя двух чисел

Выпишем все делители чисел 32 и 24.

Делители числа 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.

Делители числа 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Общими делителями 24 и 32 являются: 1, 2, 4, 8.

Наибольший из них – 8. Обозначается НОД(24;32)=8.

Замечание. Вышеизложенный алгоритм №0 не является рациональным способом нахождения НОД (им можно воспользоваться в том случае если вы забыли способы нахождения НОД).

Определение 3. Натуральные числа a и b называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1, то есть НОД(a; b) = 1.

Иначе выражаясь, если числа a и b не имеют никаких общих делителей, кроме 1, то они взаимно просты.


Пример 3.

1) Числа 2 и 5 взаимно простые (и сами они простые);

2) 2 и 9 взаимно простые (2 – простое, 9 – составное);

3) 8 и 9 взаимно простые (и оба они составные);

Замечание. Как видно из случаев, приведенных в примере 2, понятия «простые числа» и «взаимно простые числа» не имеют особой связи между собой.

Правило. Если одно из данных чисел [36] является делителем другого числа [72], то оно [36] будет являться наибольшим общим делителем данных чисел [72 и 36].

Формулы, необходимые для алгоритма №1

Для вычисления по алгоритму №1 необходимо знать формулы





Замечание. Формулу a>0=1 мы будем использовать «справа налево», то есть 1=a>0.

Единицу мы будем представлять как 2>0, как 3>0, как 5>0, как 7>0, как 11>0, …

1=2>0, 1=3>0, 1=5>0, 1=7>0, 1=11>0, …


Алгоритм №1

Рекомендуемый способ нахождения

наибольшего общего делителя двух чисел


Алгоритм №1.

1) Разложить данные числа на простые множители;

2) выбрать наименьшие степени множителей из разложений данных чисел;

3) перемножить выбранные множители в наименьших степенях.


Кратко (для заучивания, нестрогое правило): разложить на множители, выбрать наименьшие степени, перемножить.




Пример 1. Найти НОД (18; 14).

1) Разложим на простые множители числа 18 и 14:



18=2×3>2=2×3>2×1= 2>1×3>2×7>0,

14=2×7=2>1×1×7>1=2>1×3>0×7>1.

2) В обоих разложениях множитель 2 встречается в первой степени. Значит, выписываем множитель 2>1 (НАИМЕНЬШИЙ!!!).

Множитель 3 встречается во второй и нулевой степени, значит, выписываем 3>0 (наименьший).

Множитель 7 встречается в первой и нулевой степени, значит, выписываем 7>0 (наименьший).

3) 2>1×3>0×7>0=2×1×1=2.

Ответ: НОД(18; 14)=2.


Замечание. Нулевая степень в разложении числа обозначает, что данный множитель входит в разложение числа ноль раз. Запись 18=2>1×3>2×7>0 означает, что множитель 7 входит ноль раз в разложение числа 18.


Пример 2. Найти НОД (36; 30).

1) Разложим на простые множители числа 36 и 30:



36=2>2×3>2= 2>2×3>2×1= 2>2×3>2×5>0,

30=2×3×5=2>1×3>1×5>1.

2) Множитель 2 встречается во второй и первой степени, значит, выписываем 2>1 (наименьший).

Множитель 3 встречается во второй и первой степени, значит, выписываем 3>1 (наименьший).

Множитель 5 встречается в первой и нулевой степени, значит, выписываем 5>0.

3) 2>1×3>1×5>0=2×3×1=6

Ответ: НОД(36; 30)=6.


Пример 3. Найти НОД (9; 10).

1) Разложим на простые множители числа 9 и 10:





2) Множитель 2 встречается в первой и нулевой степени. Значит, выписываем множитель 2>0.

Множитель 3 встречается во второй и нулевой степени, значит, выписываем 3>0. Множитель 5 встречается в первой и нулевой степени, значит, выписываем 5>0.

3) 2>0×3>0×5>0=1×1×1=1.

Ответ: НОД(9; 10)=1.


Пример 4. Найти НОД (48; 88).

1) Разложим на простые множители числа 48 и 88:



48=2>4×3>1= 2>4×3>1×11>0,

88=2>3×3>0×11>1.

2) Множитель 2 встречается в третьей и четвертой степени. Значит, выписываем множитель 2>3.

Множитель 3 встречается в первой и нулевой степени, значит, выписываем 3>0

Конец ознакомительного фрагмента. Полный текст доступен на www.litres.ru


С этой книгой читают
Данный тренажер призван помочь освоить самую сложную из операций с обыкновенными дробями.В теоретическом блоке приведены правила выполнения и примеры реализации данных правил для конкретных случаев (8 случаев).В практическом блоке "Упражнения" имеются 160 примеров (с ответами).Книга будет полезна при подготовке к ВОУД, ВПР, ГИА, ЕНТ, ЕГЭ, SHL-тестам, Formatta, "Числовые тесты", "IQ тесты", в казахско-турецкие лицеи, в "Назарбаев Интеллектуальные
Данная подборка толкований терминов призвана помочь учащимся при выполнении научных проектов.Данная книга рекомендуется старшеклассникам, выполняющим работу над научными проектами. Также может быть полезна студентам, магистрантам и учителям при подготовке научных проектов, курсовых и дипломных работ.
496 примеров на деление натуральных чисел с ответами.Задания отсортированы по возрастанию трудности вычислений.Книга будет полезна при подготовке к ВОУД, ВПР, ГИА, ЕНТ, ЕГЭ, SHL-тестам, Formatta, "Числовые тесты", "IQ тесты" для успешной сдачи экзаменов и трудоустройства в в Big4, Procter & Gamble, Schlumberger, Mars, Unilever, BAT, Pepsi, Nestle, Henkel, JTI, Philip Morris и другие компании.
Если вы планируете сдавать ЕГЭ по информатике, то наверняка задачи на системы счисления представляют для вас самую большую проблему. На сайте К.Полякова собрано огромное количество задач самой разной степени сложности. А в этой книге – доступно даётся пошаговый алгоритм их решения. С этим сборником задачи на системы счисления больше не будут вас пугать, и вы сможете получить максимальный балл на экзамене.
Представленный Вашему вниманию сборник задач по школьной математике был составлен мною в ученические годы. Тогда мне захотелось самому проявить в математике своё творческое начало, постепенно сочинив одну за другой означенные ниже задачки. Искренне надеюсь, что Вам придётся по вкусу мой подростковый креатив в школьной математике!
Мини-учебник с задачами по экономике— это отличный вариант базового изучения экономики для учеников и студентов. Здесь вы найдёте подробные решения задач по экономике, а в конце книги— словарь терминов и буквенных обозначений, нужных для решения задач. Желаю Вам приятного изучения экономики!
Классический сборник упражнений по математике. В книге представлены все основные темы по математике за курс 4 класса. Каждая тема состоит из 10 заданий, целью которых является как отработка новых знаний, так и повторение пройденного материала. При этом выполнение заданий не отнимает много времени. Книга будет полезна в качестве дополнительного материала к учебнику, ее можно использовать при подготовке к самостоятельным или контрольным работам. По
«Приключения Электроника» – знаменитая повесть Евгения Велтистова о приключениях Сережи Сыроежкина и его двойника – робот Электроника. Вместе с ними в самые разные истории попадает не обыкновенная собака Рэсси.В книгу включены две повести – «Электроник – мальчик из чемодана» и «Рэсси – неуловимый друг».
Писать начала еще в детстве, но на пути к призванию сменила немало профессий: университетского преподавателя, переводчика, топ-менеджера, главного редактора журнала. Счастье, полагает Диана, в творчестве и семье. Вместе с мужем (в браке 20 лет) воспитывает трех дочерей, две из которых приемные. Возглавляет созданный ею Клуб «Азбука приемной семьи», пишет книги и работает литературным обозревателем на радио КоммерсантЪ FM.
Роман «Неправильный выбор» написан на основе реальных событий, которые произошли в санатории «Нижнеивкино». Имена героев и некоторые персонажи выдуманы для более художественного изображения действительности. Автор признаётся, что одновременно было легко и трудно работать над темой неправильного выбора. На протяжении всего романа, от начала до конца, она искренне переживала и вместе с каждым героем страдала, радовалась и умирала от любви.
«Что плохого может произойти в гостях у шумных, весёлых и, казалось бы, дружных родственников? Лучше бы не ездил, лучше бы не знал…»Любовь к себе и безразличие к окружающим. Стремление привлечь внимание и нежелание услышать даже собственных детей. Как часто всё это прячется от нашего взора в нас самих?Книга написана в память о тех, кого равнодушие мира толкнуло на суицид, в память о жертвах террористических актов в учебных заведениях, в память о