Николай Морозов - Операции над матрицами средствами MS Excel

Пусть дана квадратная таблица из следующих чисел:

Матрица A

Число A = а_>11∙а_>22 – а_>12∙а_>21 называется определителем 2-го порядка и соответствует приведенной выше матрице Этот определитель обозначается символом det A и вычисляется по следующему правилу:

Правило вычисления определителя второго порядка.

Числа а_>11,а_>22, а_>12,а_>21 являются элементами определителя. Говорят, что элементы а_>11,а_>22 лежат на главной диагонали определителя, а а_>12,а_>21 – на побочной.

Таким образом определитель 2-го порядка равен разности между произведениями элементов, лежащих на главной и побочной диагоналях.

Рассмотрим таблицу из 9-ти элементов:

Определитель 3-го порядка.

Определителем 3-го порядка, соответствующим зтой таблице, называется число, равное:

а_>11∙а_>22∙а_>33 + а_>21∙а_>23∙а_>31 + а_>21∙а_>32∙а_>13 – а_>13∙а_>22∙а_>31 – а_>11∙а_>32∙а_>23 – а_>21∙а_>12∙а_>33

Этот определитель обозначается символом det:

При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольника (правилом Саррюса):

1) Равноправность строк и столбцов: определитель не изменится, если его строки заменить столбцами или наоборот.

Первое свойство определителя (2-го порядка).

Первое свойство определителя (3-го порядка).

2) При перестановке двух параллельных рядов, определитель меняет знак.

Второе свойство определителя (3-го порядка).

3) Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен 0

Третье свойство определителя (3-го порядка).

4) Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно выносить за знак определителя.

Четвертое свойство определителя (3-го порядка).

Из свойств 3 и 4 следует, что если все элементы некоторого ряда пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель равен 0

Следствие из свойств 3 и 4.

5) Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

Пятое свойство определителя (3-го порядка).

6) Элементарные преобразования определителя.

Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число:

Элементарные преобразования определителя (3го порядка)..

Минором некоторого элемента а_>ij определителя n-ого порядка называется определитель n-1 —ого порядка, полученный из исходного, путем вычеркивания i – строки, j – столбца

Обозначается М_>ij

Минор элемента а_>ij

Минор элемента а_>13

Алгебраическим дополнением элемента А_>ij определителя называется его минор (М_>ij), взятый со знаком «+», если сумма i+j – четное число, «-» если i+j – нечетное число.