Фигура, свойства которой мы будем изучать дальше, – равнобедренный треугольник. Треугольником называется фигура, состоящая из трех не лежащих на одной прямой точек и трех попарно соединяющих их отрезков. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки – сторонами. Треугольник обозначается специальным значком и тремя буквами: ∆ ABC.
Согласно аксиоме A5, сумма длин двух любых сторон треугольника строго больше длины его третьей стороны. Эта аксиома называется неравенством треугольника. Она показывает, каким не может быть треугольник. Например, не существует треугольника со сторонами 2, 2 и 5, т.к. 2+2 <5. Ее смысл также в том, что путь по прямой – самый короткий.
Длины сторон треугольника (Рис. 1) могут быть различными – такой треугольник будем называть разносторонним (1). Они могут быть все равные по длине, и треугольник будет называться равносторонним (2) или правильным. Но есть еще третий тип: у треугольника могут быть равны хотя бы две стороны, и он будет называться равнобедренным (3).
Рис.1
Первая большая задача, которую мы перед собой поставим – изучение свойств равнобедренного треугольника.
С математической точки зрения, равносторонний треугольник – тоже равнобедренный, потому что для того, чтобы треугольник был равнобедренным, нужно равенство хотя бы двух его сторон. Нужно четко понимать словосочетание «хотя бы». Продумайте следующую фразу: «Если на столе три конфеты, то хотя бы две конфеты на столе есть». Если это понятно – все в порядке.
В равнобедренном треугольнике равные стороны называются боковыми. Третья сторона, которая может быть и не равной боковым, называется основанием. Такие названия связаны с тем, что древние греки изображали равнобедренные треугольники на чертежах, как правило, вершиной кверху, и тогда он был похож на человечка или на египетскую пирамиду.
Докажем теорему.
Т2.1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны (Рис.2).
Рис.2
Для доказательства (Рис.3) наложим треугольник на него самого изнаночной стороной.
Рис.3
Мы совершим перемещение плоскости, такое, при котором флаг Ф1 с красным «держаком» перейдет во флаг Ф2 с зеленым «держаком». Уверен, у вас достаточно воображения, чтобы понять, что это означает просто переворачивание треугольника и наложение его на самого себя.
Тогда совпадут углы при вершине – ведь они равны (в перевернутом виде угол остается равным самому себе, следовательно, наложится сам на себя и совпадет).
Дальше совпадут боковые стороны, они равны, т.к. треугольник равнобедренный. То есть полностью треугольники совпадут. Наконец, углы при основании наложатся друг на друга и тоже совпадут. Значит они равны.
Теорема, о которой мы только что говорили, в обычных обозначениях записалась бы так. Дан равнобедренный ∆АВС, причем АВ=ВС. Утверждается, что <ВАС = <ВСА. После переворачивания получаем треугольник А>1В>1С>1. Совмещаем В и В>1, затем АВ и С>1В>1, ВС и В>1A>1… И треугольники совместятся. Это – хороший способ записи доказательства, но часто суть бывает легче усмотреть, используя не буквы, а стрелки. Если потребуется, вам будет легко записать то или иное доказательство так, как нужно на контрольной или на экзамене.
Верно и следующее утверждение.
Т2.2. Если у треугольника равны два угла, то он – равнобедренный. Доказательство такое же. Переворачиваем треугольник и накладываем сторону, к которой прилежат эти два угла саму на себя (она, естественно, совпадет сама с собой). То есть мы объявляем ее основанием. Другие две стороны пойдут по соответствующим сторонам (так как углы равны), и таким образом, получится совпадение.
Эта теорема – обратная к предыдущей (которая при этом называется прямой теоремой). Что такое «обратная теорема»? Если прямая теорема гласит: «Если А, то В» (если стороны равны, то равны и углы), то обратная будет: «Если В, то А» (у нас: если углы равны, то равны и стороны).