Дмитрий Усенков - Готовые дидактические материалы для тренировки устного счета: теорема Виета. 600 примеров
| Название: | Готовые дидактические материалы для тренировки устного счета: теорема Виета. 600 примеров |
| Автор: | Дмитрий Усенков |
| Жанры: | Задачники | Практикумы |
| Серии: | Нет данных |
| ISBN: | Нет данных |
| Год: | 2020 |
Теорема Виета позволяет быстро находить решения квадратных уравнений, не прибегая к вычислениям с использованием дискриминанта, однако учебно-методических материалов для отработки навыков поиска корней по формуле Виета имеется крайне мало. Данное пособие призвано хотя бы частично устранить этот дефицит и содержит 600 готовых примеров квадратных уравнений с целыми корнями, а также ответы на эти примеры для проверки и самоконтроля. Пособие предназначено для учителей математики, школьников и их родителей.
Бесплатно читать онлайн Готовые дидактические материалы для тренировки устного счета: теорема Виета. 600 примеров
Предисловие
Теорема Виета, сформулированная французским математиком Франсуа Виетом, дает возможность в отдельных случаях (для целых и, иногда, для дробных значений корней) быстро находить решения квадратных уравнений, не прибегая к вычислениям с использованием дискриминанта. В школьной алгебре теорема Виета (формула Виета) играет такую же ведущую роль, как и теорема Пифагора в геометрии, однако учебно-методических материалов для отработки навыков поиска корней по формуле Виета имеется крайне мало.
Данное пособие призвано хотя бы частично устранить этот дефицит и содержит 600 готовых примеров квадратных уравнений с целыми корнями, а также ответы на эти примеры для проверки и самоконтроля.
При использовании в классно-урочной форме работы учитель может использовать текст пособия в качестве готового раздаточного материала, а после выполнения работы учащимися произвести проверку по имеющимся готовым ответам.
При использовании пособия для самостоятельной подготовки вы можете использовать ответы для самопроверки после решения выбранных примеров.
Ответы записаны в форме разложения квадратного уравнения на множители; если требуется получить значения самих корней, то нужно константные слагаемые в скобках брать с противоположными знаками.
Примечание. При использовании формулы Виета дискриминант квадратного уравнения должен быть неотрицательным. В случае, если дискриминант равен нулю, считается, что данное уравнение имеет два равных друг другу корня.
Теорема Виета (краткие теоретические сведения)
Формулировка теоремы Виета:
Сумма корней x>2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.
Таким образом, если уравнение x>2 + bx + c = 0 имеет два корня: x>1 и x>2, то справедливы следующие два равенства:
Согласно этим равенствам, для получения решения квадратного уравнения необходимо подбором найти два числа, сумма которых равна коэффициенту при x, взятому с обратным знаком, а произведение равно свободному члену. Следует заметить, что при этом исходное квадратное уравнение должно быть приведено к виду, когда коэффициент a при x>2 равен единице.
Доказательство теоремы Виета
Докажем теорему Виета.
Формулы для вычисления корней квадратного уравнения (рассматривается ситуация, когда дискриминант D положителен; уравнение с нулевым дискриминантом можно считать частным случаем):
Вычислим сумму этих корней:
Раскрыв скобки и сократив слагаемые, получаем:
.
Вычислим произведение корней:
Применив в числителе формулу разности квадратов, получаем:
Подставляем известную нам формулу для вычисления дискриминанта:
Получаем:
Таким образом, оба равенства теоремы Виета доказаны.
Обратная теорема Виета
Формулировка обратной теоремы Виета:
Если числа x>1 и x>2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x>2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями x>2 + bx + c = 0.
Доказательство обратной теоремы Виета читатели могут произвести самостоятельно.
Задания для самостоятельного решения
1. x>2 – 28x + 171 = 0
2. x>2 + 8x – 180 = 0
3. x>2 – 10x – 75 = 0
4. x>2 + 22x + 72 = 0
5. x>2 + 0x – 289 = 0
6. x>2 – 6x – 160 = 0
7. x>2 + 1x – 30 = 0
8. x>2 – 2x – 120 = 0
9. x>2 – 14x + 40 = 0
10. x>2 + 7x – 18 = 0
11. x>2 – 6x – 160 = 0
12. x>2 + 3x – 10 = 0
13. x>2 + 6x – 7 = 0
14. x>2 – 20x + 19 = 0
15. x>2 + 5x – 50 = 0
16. x>2 – 8x – 9 = 0
17. x>2 – 17x – 38 = 0
18. x>2 + 7x + 6 = 0
19. x>2 + 17x + 30 = 0
20. x>2 – 28x + 160 = 0
21. x>2 + 30x + 221 = 0
22. x>2 + 0x – 16 = 0
23. x>2 – 2x – 120 = 0
24. x>2 + 4x – 77 = 0
25. x>2 + 14x + 45 = 0
26. x>2 + 19x + 18 = 0
27. x>2 – 23x + 102 = 0
28. x>2 + 9x – 90 = 0
29. x>2 + 9x – 220 = 0
30. x>2 – 5x – 126 = 0
31. x>2 – 25x + 136 = 0
32. x>2 – 20x + 19 = 0
33. x>2 – 1x – 132 = 0
34. x>2 – 17x + 60 = 0
35. x>2 + 6x – 7 = 0
36. x>2 + 15x + 36 = 0
37. x>2 + 1x – 240 = 0
38. x>2 – 12x + 27 = 0
39. x>2 – 6x – 135 = 0
40. x>2 – 19x + 70 = 0
41. x>2 + 9x – 22 = 0
42. x>2 + 3x – 10 = 0
43. x>2 + 20x + 84 = 0
44. x>2 – 9x – 10 = 0
45. x>2 + 17x + 52 = 0
46. x>2 – 13x – 114 = 0
47. x>2 + 3x – 88 = 0
48. x>2 + 33x + 260 = 0
49. x>2 – 12x + 36 = 0
50. x>2 – 17x + 0 = 0
51. x>2 + 25x + 136 = 0
52. x>2 – 18x + 81 = 0
53. x>2 – 9x – 90 = 0
54. x>2 + 23x + 60 = 0
55. x>2 + 25x + 136 = 0
56. x>2 – 15x + 50 = 0
57. x>2 + 14x – 120 = 0
58. x>2 + 5x – 126 = 0
59. x>2 – 7x – 120 = 0
60. x>2 + 12x – 45 = 0
61. x>2 + 26x + 160 = 0
62. x>2 + 27x + 162 = 0
63. x>2 + 1x – 30 = 0
64. x>2 – 6x – 135 = 0
65. x>2 + 8x – 105 = 0
66. x>2 – 4x – 45 = 0
67. x>2 + 15x + 14 = 0
68. x>2 – 4x + 3 = 0
69. x>2 – 20x + 100 = 0
70. x>2 + 10x – 39 = 0
71. x>2 + 24x + 140 = 0
72. x>2 – 22x + 112 = 0
73. x>2 – 27x + 162 = 0
74. x>2 – 1x – 6 = 0
75. x>2 – 15x – 16 = 0
76. x>2 + 34x + 285 = 0
77. x>2 + 3x – 238 = 0
78. x>2 + 9x + 18 = 0
79. x>2 + 10x + 24 = 0
80. x>2 – 15x + 44 = 0
81. x>2 + 12x + 11 = 0
82. x>2 + 18x + 32 = 0
83. x>2 + 27x + 170 = 0
84. x>2 + 13x + 40 = 0
85. x>2 – 2x – 99 = 0
86. x>2 – 4x – 96 = 0
87. x>2 – 11x – 26 = 0
88. x>2 – 3x – 10 = 0
89. x>2 – 21x + 90 = 0
90. x>2 – 22x + 112 = 0
91. x>2 + 25x + 126 = 0
92. x>2 + 16x + 55 = 0
93. x>2 – 8x – 33 = 0
94. x>2 – 12x – 160 = 0
95. x>2 – 18x + 0 = 0
96. x>2 – 8x – 33 = 0
97. x>2 – 2x – 195 = 0
98. x>2 + 20x + 75 = 0
99. x>2 + 11x + 10 = 0
100. x>2 + 2x – 224 = 0
101. x>2 + 1x – 240 = 0
102. x>2 – 19x + 88 = 0
103. x>2 + 11x + 30 = 0
104. x>2 – 24x + 128 = 0
105. x>2 – 28x + 160 = 0
106. x>2 + 12x + 35 = 0
107. x>2 + 0x – 256 = 0
108. x>2 + 38x + 361 = 0
109. x>2 + 13x – 140 = 0
110. x>2 – 14x – 15 = 0
111. x>2 + 4x – 32 = 0
112. x>2 + 36x + 320 = 0
113. x>2 – 3x – 180 = 0
114. x>2 + 4x + 4 = 0
115. x>2 – 13x – 30 = 0
116. x>2 + 7x – 98 = 0
117. x>2 + 17x + 70 = 0
118. x>2 – 12x + 32 = 0
119. x>2 – 2x – 3 = 0
120. x>2 – 4x – 77 = 0
121. x>2 – 29x + 180 = 0
122. x>2 + 13x + 42 = 0
123. x>2 – 15x + 26 = 0
124. x>2 + 14x + 0 = 0
125. x>2 + 9x – 10 = 0
126. x>2 + 33x + 272 = 0
127. x>2 – 4x – 117 = 0
128. x>2 – 11x – 60 = 0
129. x>2 – 3x – 180 = 0
130. x>2 + 18x + 56 = 0
131. x>2 + 2x – 120 = 0
132. x>2 – 15x + 44 = 0
133. x>2 – 30x + 225 = 0
134. x>2 – 5x
