Игорь Мерзляков - Путешествие в квантовую механику

В этой главе будут рассмотрены 2 концепции, с помощью которых можно сформулировать тот или иной физический закон, предназначенный для описания объективной реальности. Первая доктрина направлена на исследование дифференциальных соотношений, позволяющих по меньшей мере обобщить природные явления и процессы, а вторая связана с определением корреляций в заранее известном наборе функций. Последние могут быть получены опытным путём, либо найдены в результате экстраполяции значений, относящихся непосредственно к решению того или иного дифференциального уравнения. Справедливость численных методов, которые опираются на анализ экспериментальных данных, изначально просто нельзя не поставить под сомнение. Впрочем, применяя эмпирический подход на практике, в подавляющем большинстве случаев возможно будет обосновать теоретически как минимум не самую малую часть от всех наблюдаемых в линейных или хотя бы в линеаризованных физических системах фундаментальных взаимодействий.

Начнём этот раздел с вывода уравнения Шрёдингера. Методика, ориентированная на поиск зависимостей между величинами, присутствующими в указанном уравнении, базируется на математической интуиции. Примечательно, что настоящее допущение не является ошибочным.

В 1924 году французский физик Луи де Бройль выдвинул смелую гипотезу, согласно которой корпускулярно-волновой дуализм имеет универсальный характер. Исходя из предположения де Бройля, важно констатировать, что каждая материальная частица обладает волновыми свойствами, причём соотношения, связывающие волновые и корпускулярные характеристики частицы, остаются такими же, как и в случае электромагнитного излучения веществом. Действительно, полную энергию E_>p` и импульс P`` фермиона (или бозона) возможно выразить через круговую частоту ν, длину волны λ и постоянную Планка h, тогда:

где k’=2π/λ; ħ=h/ (2π) – приведённая постоянная Планка.

Итак, сформулируем закон сохранения энергии для волны де Бройля. Величина E_>p` представляет собой сумму кинетической E_>k и потенциальной U_>p (x,y,z) энергии, следовательно:

Вместе с тем

здесь M – масса элементарной частицы; T``` – период волны Де Бройля.

Длину волны Де Бройля λ удобно выразить через скорость υ (υ=const), тогда:

Вывод уравнения Шрёдингера по идее надо производить в трёхмерном пространстве C^>3, но для упрощения расчётов будем использовать одномерную систему координат. Переходя от действительных чисел к комплексным λ-> -2πiλ и ν-> -ν/ (2πi) (знаки перед аргументами -2πiλ и -ν/ (2πi) выбраны отрицательными именно потому, что в противном случае соотношение (h/ (2πλ))^{> 2}/2M-U_>p (x) -i (hν/ (2π)) ≠C_>ncos (ω`t) +isin (ω`t)) просто-напросто потеряет смысл, когда ω`> 0, ν> =0, λ> =0, t> =0, U_>p (x) =const и C_>n≠0), перепишем составленный для волны Де Бройля закон сохранения энергии в следующем виде:

Кроме того

где t – время, а x – координата.

Ссылаясь на математические преобразования, разобранные выше, найдём тождество:

.В итоге нам потребуется внести новую величину под знаки производных, которую в подавляющем большинстве случаев обозначают как ψ или как ψ_>p, тогда:

Выражение (2*) называется уравнением Шрёдингера. Опираясь на полученную формулу, возможно вычислить оператор импульса P``, следовательно:

Обычно с изучением школьной программы как-то не принято ставить под сомнение справедливость основных положений, позволяющих осуществить вывод фундаментальных законов физики. Для того чтобы выполнить дальнейшие математические расчёты, нужно в первую очередь определить понятие «зависимости» физических величин, выраженных через изменение прочих несвязанных друг с другом соотношений. Отталкиваясь от постулата о наличии корреляций между аргументом F и неравномерно распределёнными вдоль соответствующих осей x_>1, x_>2, x_>3, …, x_{>N``-1</sub> или x<sub>>N``} функциями f_>1 (x_>1), f_>2 (x_>2), f_>3 (x_>3), …, f_{>N``-1</sub> (x<sub>>N``-1}), либо f_{>N``</sub> (x<sub>>N``}), заданные параметры f_>1 (x_>1), f_>2 (x_>2), f_>3 (x_>3), …, f_{>N``-1</sub> (x<sub>>N``-1}), а также f_{>N``</sub> (x<sub>>N``}) надлежит перемножать между собой только в том случае, когда последние окажутся независимыми. Иначе говоря, приращение переменной f_>j (x_>j) по факту будет происходить без взаимного влияния её значений на другие выражения f_>o (x_>o) (o≠j). Запишем тождество (2.1) для нахождения произведения П_>j=1^{>N`</sup>`f_>j (x_>j)^{> γj}. Коэффициенты γ_>1, γ_>2, γ_>3, …, γ_>j, …, γ_{>N``</sub> будут численно равны константам (+1 или -1), представляющим из себя степени функций f<sub>>1</sub> (x<sub>>1</sub>)<sup>> γ1</sup>, f<sub>>2</sub> (x<sub>>2</sub>)<sup>> γ2</sup>, f<sub>>3</sub> (x<sub>>3</sub>)<sup>> γ3</sup>, …, f<sub>>j</sub> (x<sub>>j</sub>)<sup>> γj</sup>, …, f<sub>>N``} (x<sub>>N``</sub>)<sup>> γN``}, тогда:

здесь N`` – количество независимых параметров f<sub>>1</sub> (x<sub>>1</sub>), f<sub>>2</sub> (x<sub>>2</sub>), f<sub>>3</sub> (x<sub>>3</sub>), …, f<sub>>N``-1</sub> (x_{>N``-1</sub>) и f<sub>>N``} (x_>N``).

Наглядным примером применения эмпирического подхода на практике является закон Кулона, полученный для силы электростатического взаимодействия F_>e. Таким образом, следующие выражения (f_>1 (x_>1), f_>2 и f_>3 (x_>3)) могут быть сгруппированы друг с другом как независимые соотношения:

f_>1 (x_>1) – произведение зарядов q_>1q_>2;

f_>2 – поправочная постоянная K;

f_>3 (x_>3) – квадрат расстояния |r_>1-r_>2|^>2 между любыми 2-мя частицами, f_>3 (x_>3) =|r_>1-r_>2|^>2;

где r_>к – построенный из начала координат (0,0,0) в точку с зарядом q_>к радиус-вектор.

Хорошо известно, что сила Кулона F_>e прямо пропорциональна множителям f_>1 (x_>1) и f_>2 (γ_>1=γ_>2=1), но обратно пропорциональна переменной f_>3 (x_>3) (γ_>3=-1). Итак, прибегая к анализу экспериментальных данных, запишем закон Кулона, сформулированный для 2-х одноимённых зарядов q_>1 и q_>2, следовательно:

Если величины g_>j (x_>j) и g_>j` (x_>j) окажутся взаимно зависимыми, то справедливым будет тождество: