Екатерина Александровна Вавилова, Муштарий Тимуровна Рахимова - Все науки. №2, 2024. Международный научный журнал

УДК: 530.1

Аннотация. В работе приведено основные понятие и общая формула отрицательно-биномиального распределение, продемонстрированы формула коэффициент асимметрии и доказательства распределенном на отрицательно-биномиальном распределении. Приведено сферы, где используется отрицательно-биномиальное распределение и примеры решенные с помощью этого распределения.

Ключевые слова: распределение Паскаля, испытание Бернулли, коэффициент асимметрии, центральный момент третьего порядка, среднеквадратичное отклонение, скошенность.

Abstrackt. The work presents the basic concept and general formula of the negative binomial distribution, demonstrates the formula for the skewness coefficient and evidence of distribution on the negative binomial distribution. The areas where the negative binomial distribution is used and examples solved using this distribution are given.

Key words: Pascal distribution, Bernoulli test, asymmetry coefficient, third-order central moment, standard deviation, skewness.

Annotatsiya. ish manfiy binomial taqsimotning asosiy tushunchasi va umumiy formulasini beradi, assimetriya koeffitsienti formulasini va manfiy binomial taqsimot bo’yicha taqsimotni isbotlaydi. Manfiy binomial taqsimot qo’llaniladigan sohalar va bu taqsimot yordamida hal qilingan misollar keltirilgan

Kalit so’zlar: Paskal taqsimoti, Bernulli testi, assimetriya koeffitsienti, uchinchi tartibli markaziy moment, standart og’ish, egrilik.

Отрицательное биномиальное распределение, также называемое распределением Паскаля – это распределение дискретной случайной величины, равной числу произошедших неудач в последовательности испытаний Бернулли с вероятностью успеха 𝑝, проводимых до 𝑟-го успеха.

Испытание Бернулли – это эксперимент с двумя возможными исходами – «успех» или «неудача» – и вероятность успеха одинакова при каждом проведении эксперимента.

Примером испытания Бернулли является подбрасывание монеты. Монета может приземлиться только с двух сторон (мы можем назвать орел «успехом», а решку «неудачей»), а вероятность успеха при каждом броске равна 0,5, если предположить, что монета честная. Если случайная величина Х подчиняется отрицательному биномиальному распределению, то вероятность испытать k неудач, прежде чем испытать r успехов, можно найти по следующей формуле:

Коэффициент асимметрии – это числовая характеристика случайной величины, равная отношению центрального момента третьего порядка к кубу среднеквадратического отклонения.

Коэффициент асимметрии характеризует скошенность распределения по отношению к математическому ожиданию. Асимметрия положительна, если «длинная часть» кривой распределения расположена справа от математического ожидания; асимметрия отрицательна, если «длинная часть» кривой расположена слева от математического ожидания.

Коэффициент асимметрии распределения случайной величины x определяется формулой:

где

– третий центральный момент случайной величины x;

– среднеквадратичное отклонение случайной величины x;

– дисперсия или второй центральный момент случайной величины;

Если плотность распределения симметрична, то

Если левый хвост распределения тяжелее, то

Если правый хвост распределения тяжелее, то

.

На рисунке показаны две кривые распределения: I и II. Кривая I имеет положительную (правостороннюю) асимметрию, а кривая II – отрицательную (левостороннюю).

Кроме вышеописанного коэффициента, для характеристики асимметрии рассчитывают также показатель асимметрии Пирсона:

коэффициент асимметрии Пирсона характеризует асимметрию только в центральной части распределения, поэтому более распространенным и более точным является коэффициент асимметрии, рассчитанный на основе центрального момента третьего порядка.

Отрицательно биномиальное распределение широко используется в различных областях для моделирования случайных событий. Вот несколько примеров использования отрицательно биномиального распределения:

1. Маркетинг и реклама:

Предположим, что компания запускает рекламную кампанию и хочет оценить вероятность того, что клиент кликнет по рекламе до того, как совершит покупку. Отрицательно-биномиальное распределение может быть использовано для моделирования количества кликов до первой успешной покупки.

2. Производство и качество:

В производственной сфере отрицательно биномиальное распределение может быть применено для оценки количества бракованных изделий до достижения определенного числа рабочих изделий. Это помогает предсказать вероятность производственных сбоев.

3.Медицина и здравоохранение:

В медицинских исследованиях отрицательно-биномиальное распределение может использоваться для анализа количества лечебных процедур, которые пациент должен пройти до достижения определенного уровня выздоровления.

4. Финансы и страхование:

В финансовой сфере отрицательно биномиальное распределение может быть применено для прогнозирования количества страховых случаев до возникновения определенного количества убытков.