ИВВ - Значение в квантовых вычислениях. Исследование, применение и перспективы

Обзора формулы $H^ {\otimes n} (x) + p \mod 2^n = H^ {\otimes n} (x \oplus p \mod 2^n) $, которая является основной темой. Данная формула представляет собой уникальную операцию, зависящую от входных данных и заданных параметров вращения кубитов.

Формула состоит из нескольких компонентов. Во-первых, у нас есть оператор Адамара, обозначаемый как $H$, который применяется ко всем кубитам. Он накладывает состояния «0» и «1» друг на друга, создавая суперпозицию. Оператор Адамара также является собственным вектором оператора фазы.

Далее, у нас есть битовая последовательность входных данных, обозначенная как $x$. Эта последовательность представляет состояние кубитов, на которое будет применен оператор Адамара.

Заданный набор параметров для вращения кубитов обозначается как $p$. Эти параметры определяют, как будет вращаться каждый кубит после применения оператора Адамара.

Операция $\oplus$ обозначает сложение по модулю 2. Она применяется между входными данными $x$ и параметрами $p$, поэтому каждый кубит в $x$ будет сложен с соответствующим кубитом в $p$. Результат этой операции будет представлен в виде новой битовой последовательности.

Наконец, у нас есть количество кубитов $n$, которое указывает, сколько кубитов будет использоваться в этой операции.

Основная идея формулы заключается в следующем: если мы сначала применим оператор Адамара ко всем кубитам, а затем применим операцию сложения по модулю 2 между входными данными $x$ и параметрами $p$, а затем снова применим оператор Адамара к результату, мы получим тот же результат, который мы получили бы, если бы мы сначала применили оператор Адамара к $x$, затем сложили бы его с $p$, а затем снова применили оператор Адамара.

Формула демонстрирует, что оператор Адамара обратим и сохраняет суперпозицию при вращении кубитов. Это свойство открывает возможности для использования этой формулы в различных квантовых вычислениях.

Рассмотрим основные компоненты формулы $H^ {\otimes n} (x) + p \mod 2^n = H^ {\otimes n} (x \oplus p \mod 2^n) $ и их роль в операции вращения кубитов.

2.1 Оператор Адамара ($H$):

Оператор Адамара, обозначаемый как $H$, является ключевой составляющей формулы. Он является матрицей размером 2x2, определенной следующим образом:

$H = \frac {1} {\sqrt {2}} \begin {pmatrix}

1 & 1 \\

1 & -1

\end {pmatrix} $

Оператор Адамара действует на одиночный кубит и накладывает состояния «0» и «1» друг на друга, создавая суперпозицию. Он также является собственным вектором оператора фазы.

2.2 Входные данные ($x$):

Входные данные $x$ представляют собой битовую последовательность, которая представляет состояние кубитов, на которое будет применен оператор Адамара. Эти данные могут быть представлены в виде последовательности «0» и «1» длиной $n$, где $n$ – количество кубитов.

2.3 Параметры вращения кубитов ($p$):

Параметры вращения кубитов $p$ представляют собой заданный набор параметров, которые определяют, как будет выполняться вращение каждого кубита после применения оператора Адамара. Параметры могут быть представлены в виде последовательности «0» и «1» длиной $n$, где $n$ – количество кубитов, и каждый элемент $p_i$ соответствует параметру вращения для $i$-го кубита.

2.4 Операция сложения по модулю 2 ($\oplus$):

Операция сложения по модулю 2, обозначаемая как $\oplus$, выполняется между входными данными $x$ и параметрами вращения кубитов $p$. В данной операции каждый бит во входных данных $x_i$ складывается с соответствующим битом в параметрах вращения $p_i$ и результат берется по модулю 2. Это означает, что если сумма двух битов равна 2, то результат будет 0, иначе результат будет 1.

2.5 Количество кубитов ($n$):

Количество кубитов $n$ указывает, сколько кубитов будет использоваться в операции вращения. Это определяет размерности матрицы оператора Адамара и размерности входных данных $x$ и параметров вращения $p$.

Рассмотрим оператор Адамара и его роль в формуле.

3.1 Оператор Адамара для одиночного кубита ($H$):

Оператор Адамара, обозначаемый как $H$, представляет собой матрицу размером 2x2. Определение оператора Адамара выглядит следующим образом:

$H = \frac {1} {\sqrt {2}} \begin {pmatrix}

1 & 1 \\

1 & -1

\end {pmatrix} $

Эта матрица определяет, как будет воздействовать оператор Адамара на состояние одиночного кубита. Применение оператора Адамара к кубиту приводит к накладыванию состояний «0» и «1» друг на друга.

3.2 Действие оператора Адамара:

Пусть $|\psi\rangle$ будет состоянием одиночного кубита. Тогда применение оператора Адамара к состоянию $|\psi\rangle$ дает нам новое состояние $H|\psi\rangle$. Оператор Адамара действует на вектор состояния следующим образом:

$H|\psi\rangle = \frac {1} {\sqrt {2}} \begin {pmatrix}

1 & 1 \\

1 & -1

\end {pmatrix} \begin {pmatrix}

\psi_0 \\

\psi_1

\end {pmatrix} = \frac {1} {\sqrt {2}} \begin {pmatrix}

\psi_0 + \psi_1 \\

\psi_0 – \psi_1

\end {pmatrix} $

После применения оператора Адамара к состоянию $|\psi\rangle$, мы получаем новое состояние $H|\psi\rangle$, которое является линейной комбинацией состояний «0» и «1» входного кубита.