Данная книга является самой первой в серии «Школьная математика ОТ и ДО» и первой в теме «Квадратные уравнения».
Предполагается издать четыре части – квадратные уравнения: от определения до применения; от упражнений до олимпиадных задач; от древности до современности; от начальной школы до выпускных классов.
За несколько лет, которые прошли с момента возникновения общей идеи этой серии, эфемерность замысла оформилась в конкретные разработки, к реализации которых были подключены студенты математического факультета Пермского государственного педагогического, а теперь уже гуманитарно-педагогического университета.
Эти книги помогут школьникам в математическом самообразовании (первые три части), учителям – в методическом. Студентам – как в том, так и в другом. Содержание первых трёх частей можно использовать для создания элективных курсов, курсов по выбору и разнообразных форм дополнительного математического образования, а четвёртая позволит построить оптимальную систему обучения математике в школе.
Казалось бы, что может быть банальней в школьном курсе математики, чем квадратные уравнения? Разве что только таблица умножения.
Нередко «оценочным признаком» низкой математической подготовки школьника служит фраза «он даже квадратные уравнения не умеет решать». Предполагается, что этот процесс должен стать инструментом, применяемым «легко и непринуждённо», а не оставаться самостоятельной задачей, требующей значительных затрат умственных ресурсов.
Однако, обидное пренебрежение этим математическим объектом, на наш взгляд, весьма ошибочно. Квадратные уравнения таят в себе удивительно занимательную теорию, полезную для взрослеющего и пытливого ума. Собственно этими соображениями мы и хотим поделиться.
Не надо думать, что все предложенные теоретические факты необходимо запоминать (хотя некоторые стоило бы). Просто из того минимума, содержащегося в школьном курсе математики, при большом желании можно вытянуть закономерности, позволяющие существенно облегчить жизнь решателям математических задач.
Решать квадратные уравнения – что это?
Наука или искусство?
С первого – математического – взгляда, конечно наука!!!
Квадратные уравнения – это математическое понятие, процесс его решения имеет определённый алгоритм, который применяется для решения других (математических, физических, а порой и жизненных) задач.
А искусство, что оно? Только для души!
Но если решать квадратные уравнения не только для дела, но и для души, то вы с высокой вероятностью увидите красоту в этом привычном процессе.
Для изображения картин тоже необходимы техника рисунка, правила перспективы и т. д. Но каждый художник вкладывает в своё произведение собственное видение жизни.
Так и при решении квадратных уравнений можно не ограничиваться известным алгоритмом, а творчески выбирать приёмы получения корней.
В этой – первой – части саги о квадратных уравнениях мы представляем их математическую теорию, а возможность применить её у читателя будет во второй части «Квадратные уравнения от упражнений до олимпиадных задач».
Между прочим, теория – какая бы она ни была – не берётся из ниоткуда. Когда-то и квадратные уравнения были серьёзным объектом для математических исследований. Поэтому третья часть – «Квадратные уравнения от древности до современности» – ждёт своего часа.
Заранее обговорим те ограничения, которых будем придерживаться в рамках данного изложения. Прежде всего, учитывая, что квадратные уравнения начинают изучаться в восьмом классе, мы без специальных комментариев используем все математические знания «предыдущих лет». Там, где на наш взгляд, появляются спорные с точки зрения последовательности изучения факты, мы отсылаем к приложению или сноскам.
Кроме того, в основном тексте книги опущены строгие математические подробности, которые касаются таких понятий как собственно «уравнение» и его видов, дающих представление о «родословной» квадратного уравнения. Если читатель не знает (или забыл) эти факты, он может обратиться к приложению или комментариям.
Автор благодарит своих выпускниц математического факультета Пермского государственного педагогического университета Марию Волкову (2002 г.), Ольгу Крысову (2003 г.) и Инессу Баранову (2008 г.), фрагменты чьих курсовых и выпускных исследований вошли в эту книгу.
Благодарю всех, кому идея создания подобного рода книг созвучна и тех, кто, ознакомившись с книгой, не найдёт её целесообразной.
РАЗДЕЛ I.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ, СТРУКТУРА И ЭЛЕМЕНТЫ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ
§1. Мысли с потолка, ведущие к идее,
или Откуда что взялось?
…Забавное число – ноль. На что ни умножь – само же в результате и получается! Прямо загляденье:
0 × 0 = 0 × 1 = 0 × 2 = 0 × 10 = … = 0, т.е. 0 × a = 0 × 0
Однако, интересно, а будет ли выполняться равенство 0 × a = 0>2, если вместо нуля поставить произвольное число? Например, какое удвоенное число равно своему квадрату, то есть x × 2 = x>2? Или утроенное x × 3 = x>2?
Поставим задачу в общем виде: найти число, квадрат которого, равен произведению этого числа на конкретное данное число a. Построим модель: xx = ax или x>2 = ax.
Так как мы ищем число, отличное от нуля, то, разделив обе части построенного равенства на x, получим, что x = a.
То есть, если удвоенное число равно своему квадрату, то это число 2, а если утроенное, то 3.
Можно этот факт запомнить – вдруг пригодится?..
…Инструктаж судьи на одном из этапов туристической эстафеты:
– Вам необходимо огородить участок прямоугольной формы, площадью 1 ар для стоянки. Дополнительные очки той команде, которая затратит как можно меньше страховочной верёвки. На старт, внимание, начали!
1 ар – это 100 квадратных метров. Участок может иметь размеры 20 × 5 или 25 × 4. Но наша команда знает, что наименьший периметр прямоугольника при его заданной площади будет в том случае, если он – квадрат (теперь и вы это помните!). Отлично! Значит необходимо найти сторону квадрата, если его площадь равна 100. Ну, это легко! Ещё с младших классов, благодаря большой вычислительной практике, помним, что число 10 умноженное на себя даёт сто.
Хорошо, что мы не на уроке математики, а то пришлось бы составлять уравнение x>2 = 100…
…Не так давно с нами эксперимент проводили: надо было из множества прямоугольников разнообразной формы выбрать один, который покажется самым приятным на вид. Многочисленные повторения этого опыта показали, что чаще всего люди выбирают те прямоугольники, стороны которого относятся как «золотая пропорция». Золотое (или гармоническое) сечение – это такое деление отрезка, при котором отношение всего отрезка к большей части равно отношению большей части к меньшей 1:
